|
同生于1903年的俄国数学家柯尔莫哥洛夫和美籍匈牙利人冯·诺伊曼是两位耀眼的数学巨星，他们在各自的人生舞台上，展演了精彩纷呈的剧目，为后人留下了不尽的怀想。今年是这两位数学“双子星”诞辰一百二十周年，在此我们一瞥其超脱于认识形态之外的巨大成就，并希望数学的星光在本世纪里继续闪烁。 撰文 | 丁玖（南密西西比大学数学系教授） 1903年已被历史证明是国际数学界的侥幸年，以至能够稍微夸大地说成是改动二十世纪数学历史进程的一年。那年初的暖和春风给东方的俄罗斯吹生了安德雷·柯尔莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903年4月25日-1987年10月20日)，而在那年的冬天，匈牙利降生了约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann，1903年12月28日-1957年2月8日）。 柯尔莫哥洛夫这位东方数学王国的彼得大帝和冯·诺伊曼这个西方数学世界的所罗门王，在他们各自学术生活的鼎盛时期，一个为社会主义阵营之首的苏联开辟数学方向、证明深化定理、培育将帅人才，一个为统帅资本主义联盟的美国设计电脑方式、破解自然奇妙、埋首国防科技。他们有若干共同的喜好，也有不少相异的特性。他们年轻时都深爱历史，却坚决走向数学家道路；他们都有与生俱来的贵族血液和气质，一个从上到下具有伐木工人般的强壮体魄，另一个却从头到尾以银行家式的肥硕体型著称；他们在世时都没有缺乏营养，一个生来喜欢带学生远足，在大自然中领悟数学，另一个却将锻炼时间送给繁华的家庭派对，喜欢飙车兜风讲笑话；他们都是二十世纪数学史上的伟人，但在给数学家画像的物理学家戴森（Freeman Dyson，1923-2020）笔下，一个可能会被称为飞翔数学天空发明新范畴的“飞鸟”，另一个曾经被归入深挖数学宝藏处置艰难问题的“巨蛙”；二战中他们都为打败轴心国贡献特殊才智，一个为首都免遭德军空中攻击制定最佳计划，另一个努力于为核弹研制出谋划策；他们都是天赋异禀的绝世天才，一个终生打造“满园春色”，为祖国培育无数俊杰，另一个却满足于“一花独放”，鲜花凋谢后却难见后继有人；他们终生超负荷运转各自无以伦比的大脑，一个活到84周岁无大遗憾，另一个却比前者少活三十年，离世前壮志未酬。 今年是他们降生一百二十周年的共同年份。固然他们有不同的政治信仰，分别全身心效劳于彼此冷战过几十年的苏美两国，但是他们作为数学伟人，值得我们同时留念。百年来，上天没有太大方地让人世多出几个像他们那样的科学伟人，但是我们应该跟随他们的足迹，体会他们的心灵，使得一代新人从中取得鞭笞与鼓舞。 柯尔莫哥洛夫 美国数学史家贝尔 (Eric Temple Bell，1883-1960) 出版于1937年的Men of Mathematics (一个中译本是《数学巨匠》)，影响过几代科学家。可惜他写得太早，在书中精心描画的三十余名大数学家中，他只写到法兰西人庞加莱 (Henri Poincaré，1854-1912) 为止，连只比庞加莱小了八岁的普鲁士人希尔伯特 (David Hilbert，1862-1943) 都没能进他的书。专写庞加莱那章的题目是“The Last Universal Mathematician” (最后一位全能数学家)。假如作者多活十年，并在逝世前修订这本巨著，不只有可能会加上希尔伯特、柯尔莫哥洛夫和冯·诺伊曼这三人，而且或许还会称柯尔莫哥洛夫为“最后一位全能数学家”。 柯尔莫哥洛夫能够被视为二十世纪俄罗斯的庞加莱，但他出生时远非像出身名门望族的后者那么侥幸。他的父亲是个农学家，但后来投身推翻沙皇统治的反动，终被圣彼得堡当局流放到外省，1919年在内战中被杀；他的未婚母亲在生他时又不幸逝世。好在痛失双亲陪伴的他没有失去至亲的爱，他随着两个姨妈在富翁外祖父的贵族庄园长大，遭到很好的早期教育，进入姨妈维拉的乡村学校念书，在校刊《春燕》上发表了他最早的文学和数学作品。五岁时他就成了这个校刊的“数学编辑”，同年他单独发现了奇数和的规律，并发表在校刊上：1 = 1^2，1 + 3 = 2^2，1 + 3 + 5 = 3^2, …。 1910年，柯尔莫哥洛夫的姨妈正式领养了他，一家定居莫斯科，十年后柯尔莫哥洛夫读完了高中，考入莫斯科大学，同时也在门捷列夫莫斯科化学与技术学院读书。他后来回想道：“我带着相当的数学学问来到莫斯科大学。我特别了解汇合论的开端。我学习了 Brockhaus-Efron 百科全书中的许多问题，并为自己填补了书中那些过于简约的内容。”多卷本百科全书常是出色人物青少年时期的“自修课本”，由于他们从不囿于学校里那些只合适普通人的必修科目。从大学生时期起，柯尔莫哥洛夫因其博览群书而享有盛誉。 好像远在他国的同龄天才冯·诺伊曼，柯尔莫哥洛夫的广博学问包含历史学。他参与了一位俄罗斯史名教授的研讨班，并写出了他终身中的第一篇研讨性论文，讨论的自然不是数学史，而是关于十五、六世纪诺夫哥罗德共和疆土地占有的理论史。写好后他颇为自得，以为教授会大加赏识。出乎他预料的回答却是：“你文章中的论据只需一个，对历史学而言太少了，最少得有五个论据才行。”（这位历史教授应该成为只“大胆假定”不“当心求证”以快速发表论文的那些社会科学家的“博士论文导师”。）正是这位令学生颇为失望的历史学家在无意中把柯尔莫哥洛夫推向了他的另一个至爱——数学。他对数学终生矢志不渝，由于数学中的定理只需一个证明就够了！ 在不到20岁时，年轻的柯尔莫哥洛夫就证明出有关汇合论以及三角级数的几个重要结果。1922年，他结构出一个简直处处发散的傅里叶级数，成了冉冉升起的一颗数学新星。从那时起，他决议终身献给数学，这是数学的侥幸，却是历史学的损失。到了大学四年级，他已发表八篇论文，1929年拿到博士学位时他又写出了十篇，导师是比他年长20岁的莫斯科函数论学派的首领之一鲁金（Nikolai Luzin，1883-1950）。柯尔莫哥洛夫终身的数学活动大大促进了众多范畴的延展，包含函数论、概率论、泛函剖析、拓扑学、随机过程、力学、湍流、遍历理论等，其中他于1933年以专著Foundations of the Theory of Probability（《概率论基础》）的方式用测度论言语树立的现代概率论公理体系，为一项名垂千史之作。 柯尔莫哥洛夫28岁时成为莫斯科大学教授，八年后当选为苏联科学院院士。那个院士称号就像1948年的中华民国中央研讨院院士或1955年的中国科学院学部委员一样，完整是 “足赤的金”。在祖国科学界，他包含了与数学有关联的简直一切大奖：国度奖、列宁奖、斯大林奖、切比雪夫奖、罗巴切夫斯基奖。在国际舞台上，他参与了1954年到1970年总共五次国际数学家大会中的四次，并于1954年在荷兰阿姆斯特丹召开的第十二届国际数学家大会上作了关于动力系统的一小时全会讲演。该讲演初次给出了求解经典力学微扰理论中小除数问题“KAM定理”的原始思想，其中的K自然是他，M是德裔美国数学家莫泽 (Jüngen Moser，1928-1999)，A是阿诺德 (Vladimir Arnold，1937-2010)。后两人分别于1962和1963年对润滑扭曲映射和解析哈密顿系统证明了这个著名定理。 这里再举出柯尔莫哥洛夫在动力舷范畴的另一项出色贡献，并稍加阐明。五十年代中期，他在思索遍历理论的“共轭不变量”这一基本问题时发明了“测度熵”概念，这个在遍历理论中具有基本意义的熵是一个共轭不变量，意义是说彼此共轭的保测变换共享同一熵值，就像特征值是矩阵相似变换的相似不变量。 早在1943年，人们就曾经知道定义在0和1两个符号构成的双向序列符号空间上的“伯努利(1/2, 1/2)-双边移位”和定义在0、1和2三个符号构成的双向序列符号空间上的“伯努利(1/3, 1/3, 1/3)-双边移位”这两个保测变换都具有可数无量个“勒贝格谱点”，因而它们是谱同构的。但是数学家们不分明它们能否也共轭，即能否存在这两个符号空间之间的保测同构，使得一个移位与它的复合等于它与另一个移位的复合。1958年，柯尔莫哥洛夫算出这两个双边移位具有不同的测度熵，一个是ln 2，另一个是ln 3，因而它们彼此不共轭。 测度熵的最后完善化由柯尔莫哥洛夫的学生西奈依 (Yakov Sinai，1935-) 在1959年完成，因而该熵在文献中常被称之为“柯尔莫哥洛夫-西奈依熵”，它度量了普通保测变换无量迭代过程最终性态的紊乱水平。柯尔莫哥洛夫是个无以复加的原创型数学家，他的脑汁浇灌出思想的花朵，但果实有时要靠勤奋园丁的催熟。他的另一个弟子阿诺德曾经书面回想过，教员有时会在讨论班讲台前“挂黑板”，由于他遗忘了证明的某些细枝末节。还有人统计过柯尔莫哥洛夫有十五篇的开创性论文没有列出任何参考文献。 柯尔莫哥洛夫的博士师兄兼终生好友、拓扑学家亚历山德罗夫 (Pavel Alexandrov，1896-1982) 说数学天才有“快型”和“慢型”之分，“希尔伯特属于‘慢’的天才，而柯尔莫哥洛夫无疑是‘快’的天才。”阿诺德在他的教员百岁冥诞时写的留念文章里也回想到他的这位领路人树立新学科速度之快：一两个礼拜就能处置一个大问题。但他快速成型的思想之深遂、日积月累的学问之广博、新陈代谢的发明之能量，同时期简直无人能与之匹敌。创外型数学家才是真正了不起的数学家，生前极受人尊崇、身后历史上留名、成就常被人提起，就像十多年前丘成桐 (1949-) 在面对北京数学家们的演讲中所专列的三个华人：发明出在几何拓扑中有基本用处的“陈-示性类”的陈省身 (1911-2004)、在“多元复变函数论”中与西方并驾齐驱的华罗庚 (1910-1985)、独立于西方提出“有限元措施”理论框架的冯康 (1920-1993) 。 柯尔莫哥洛夫和意大利裔美国物理学家费米 (Enrico Fermi，1901-1954) 一样，带出或影响了一大批出色的学生，在国际数学界和物理学界能够分别用“前不见古人，后不见来者”来形容，特别是前者。有人统计过，柯尔莫哥洛夫直接指导过的学生有67人之多，在数量上简直抵达孔夫子“贤弟子七十二”的纪录，其中有14人被选为苏联科学院的院士或通讯院士，名单可见张奠宙 (1933-2018) 所著《20世纪数学经纬》书中的第368页。除了前述的阿诺德和西奈依，柯尔莫哥洛夫还有一个更有名的弟子是从未读过高中或大学就直接成为其博士生的盖尔范德 (Israel Gelfand，1913-2009)。这位传奇的学生和吴健雄 (1912-1997) 一同站在了第一届沃尔夫奖的领奖台上接受以色列总统颁奖，以至比他的教员还早了两年获此殊荣。
柯尔莫哥洛夫 柯尔莫哥洛夫由于其在国内外崇高的学术位置，即便在多疑冷峻的斯大林 (Joseph Stalin，1878-1953) 当政时，日子也比绝大多数的苏联科学家好过一些，未遭遇太大的政治省事。有趣的是，1930年，小他八个月的冯诺伊曼由东欧赴美担任普林斯顿大学的访问教授，而柯尔莫哥洛夫则前往西欧的数学重镇：哥廷根、慕尼黑、巴黎，结识了希尔伯特、勒贝格 (Henri Lebesgue，1875-1941) 等大数学家。这九个月的学术访问令他终生难忘。假如柯尔莫哥洛夫像冯诺伊曼终生留在美国那样待在西欧不归或应邀赴美长居，在美苏冷战的几十年漫长岁月里，他和西方一流数学家的交流无疑会更深化普遍、对国际数学社会的影响会更有力全面。但是，好像华罗庚1950年的美国归来使得东亚病夫式的中国数学部分地翻了身，柯尔莫哥洛夫的存在让已令西方信服得五体投地的俄罗斯数学更上了一层楼。 柯尔莫哥洛夫长期参与培育资优青少年，暮年更热衷于中学数学教育变革，不只亲手施教，而且带领孩子远足野营，从培育体魄中锻炼数学。但像比他早几十年热心青少年教育实验的英国哲人罗素 (Bertrand Russel，1872-1970) 一样，未能特别胜利。这两个智者，都缺乏毛泽东 (1893-1976) 当年把西方共产主义理论同中国反动细致理论相分离而采取的脚踏实地措施，在初等教育中未能将理想主义与理想主义有机分离起来，高估了普通学生的发明力和了解力。变革不理想而心理受打击的柯尔莫哥洛夫最后患上了帕金森症，在84周岁那年逝世，未能像终身中高潮低谷三起三落但永葆“三大激情”终生达观的罗素那样活到将近百岁。 阿诺德对自己的导师这样“盖棺论定”：“柯尔莫哥洛夫、庞加莱、高斯、欧拉、牛顿，只需这五个生命将我们与科学的源头分开。” 冯诺伊曼 冯·诺伊曼降生在匈牙利布达佩斯一个富有犹太家庭，似乎是《论语》中所说的“生而知之者上也”。六岁时，他能表情奇特地心算八位数的乘除。成年后的他在用头脑计算复杂问题经常注视着天花板，像和尚念经似地口中念念有词，答案就从嘴边滚滚而出。一个广为传播的故事说当他被问，在匀速相向而行的两人之间，有一只苍蝇在他们之间不间断地以匀速直线运动来回飞，那么在两人碰面时，苍蝇共飞了多少距离？冯诺伊曼一眨眼就通知了答案，用的是令人诧异的无量级数求和法，而不是人们通常所用的初等措施。 冯·诺依曼确是神童，他八岁熟习微积分，12岁读懂波莱尔 (mile Borel，1871-1956) 的《函数论》，15岁跟随著名剖析学家赛格 (Gábor Szeg，1895-1985) 研习高等微积分。在他们初次见面时，赛格对他的数学天赋感到十分震惊，致使于流下了眼泪。但年少的冯·诺伊曼对历史也特感兴味，在自家的图书馆里通读了一套 46 卷世界历史系列 《专著中的通史》。在他就读的精英中学，除了几何绘画、写作和音乐得了B外，他其他门门是A，但体育最差：C。 美国首届国度科学奖得主冯·卡门 (Theodore von Kármán，1881-1963) 也是匈牙利神童。他在自传中回想，当年17岁冯·诺伊曼的银行家父亲曾特地咨询了已有名气的冯·卡门，问儿子大学读何专业好。作为父子不同选择的折中计划，冯·诺伊曼同时在德国的柏林大学和祖国的布达佩斯大学分修父亲选的化工和自己爱的数学。冯·诺伊曼的第一篇数学论文发表在1922年，那时他还不到19周岁。当他翌年转到瑞士的苏黎世联邦工学院读化工研讨生时，主要在做数学了。有次冯·诺伊曼在课堂上问了也生于布达佩斯的波利亚 (George Plya，1887-1985) 教授一个数学问题，后者暮年时对此评述道：“从那时起我就开端惧怕他了。” 冯·诺伊曼大约是二十世纪全世界最聪明的数学家，这让德裔美国物理学家、1967年的诺贝尔物理奖取得者贝特 (Hans Bethe，1906-2015) 慨叹不已： “有冯·诺伊曼这样的大脑是不是意味着存在比人类更高一级的生物物种？” 长冯·诺伊曼一岁并在匈牙利同一所精英中学早一年毕业、1963年的诺贝尔物理奖取得者魏格纳 (Eugene Wigner，1902-1995) 终生对他有一种近乎自卑的情结藏于心中： “不论多么聪明的人，和冯·诺伊曼一同长大就一定会有挫败感。” 固然冯·诺伊曼被公以为电子计算机之父和博弈论之父，但他以为最令自己自豪的学术贡献都在数学上：希尔伯特空间的自共轭算子理论、量子力学的数学基础和以他名字命名的冯·诺伊曼平均遍历定理。这三项数学成果都是开创性的，第一项构成了上世纪初开端孕育的新学科泛函剖析的一个主要部分，第二项用无量维线性算子的言语夯实了量子力学的逻辑基础，第三项则对统计力学中基本的玻尔兹曼遍历假定给予了数学的检视，是遍历理论这门在本世纪一定要愈加兴隆的综合性学科中被证明的第一个严重定理。 冯诺伊曼的主要数学成就当然不止他自己认定的上述三个。1940年是他研讨事业的分水岭。在这之前，他在地道数学的象牙塔里大显身手，一出手就在数理逻辑范畴里留下深深的足迹，很快又在汇合论中提出了新的公理化体系。在短时间内完成终身三大数学成就后的1933年，还没到30周岁华诞的冯诺伊曼就用紧致群的工具破解了希尔伯特第五问题，然后他从测度论、格论、连续群、算子环等地盘一路杀去“风卷残云如卷席”，留下累累战果。 这位身体矮壮、硕大的头部常面带笑容看上去更像富国银行总裁的大数学家，终身中或许不迭爱因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 具有那种惊世骇俗的原创力，但却像中国十年前快速延展的高速列车一样，马上能把耳闻目睹的原始想法神速地拓展开去，令人哑口无言。不到30周岁，他就成为普林斯顿高等研讨院首批聘用的包含爱因斯坦在内的六名永世教授之一。 美国参与二战后，冯诺伊曼与时俱进地变换了角色，像孙悟空似地摇身一变，从地道数学家变成了应用数学家，为气体运动学的冲击波、流膂力学的湍流等适用学科树立了理论，也为新兴的计算数学贡献了基本的概念和措施，并在热核聚变研讨中发挥了大作用。他在忙碌之外与普林斯顿大学经济学教授摩根斯特恩(Oskar Morgenstern，1902-1977) 合著的《博弈论和经济行为》(Theory of Games and Economic Behavior)，成了博弈论的奠基之作。他在得知自己罹患不治之症后的最后岁月里，努力探求电脑与人脑的相似机制，其未完成的应邀为耶鲁大学于1888年树立的“斯里曼留念讲座”所写的讲稿，在他离世后以 “计算机和人脑”(The Computer and the Brain) 为书名由该大学的出版社出版。 四十年代中后期，随着冯·诺伊曼辅佐研制胜利的第一台电子计算机的呈现，方便而又快速的数值计算极大地辅佐了创外型数学家的大脑思想，成了他们提出问题、处置问题的好帮手。作为最早接触现代计算机的数学家，在与像费米这样的大物理学家协作处置物理问题的过程中，冯·诺伊曼等数学家成了“非线性剖析”这一集数学、物理、计算机等学科于一身的科学范畴的开创者。 冯·诺伊曼固然是以一名巨大的数学家著称于世，但是，政治家与军事家也和科学家那样对他一向“顶礼膜拜”。在他临终前住的美国首都华盛顿里德医院病房里，对现代数学简直一窍不通的“美国国防部正副部长、陆海空三军司令以及其他军政要员们围聚在他的病榻前，倾听他最后的倡议和特殊的洞见”。历史上似乎没有任何其他数学家在临死前遭到众多军事将领如此潸然泪下的最终告别。 但是，一些同时期或晚一辈的科学家觉得冯·诺伊曼的那颗大头颅在开辟方向的原创性上，与它在疾速处置艰难问题的超凡功用相比，还是有点“稍逊风骚”的。好比，他生前短暂几年的普林斯顿高等研讨院同事、从地道数学家起步的著名数学物理学家戴森，在其2009年发表于《美国数学会会刊》(Notices of the American Mathematical Society) 第二期上的美文《鸟与蛙》(Birds and Frogs)中，将冯·诺伊曼归类于“处置问题高手”的“蛙类数学家”汇合，而将杨振宁 (1922-) 放进了“飞翔广大天空”的“鸟类数学家”行列。 依照戴森在《鸟与蛙》中的叙说，1954年的荷兰阿姆斯特丹国际数学家大会的与会者们目睹了一幕像混沌所提示的未可预测的尴尬情形，这是作者对冯·诺伊曼不很观赏的一次描画。当希尔伯特关于23个数学问题的世纪讲演过去了五十年后，人们希望一个新的高瞻远瞩的希尔伯特能提出新的大问题来引导下一个五十年的数学延展。众望所归的这个人似乎非人气最旺的冯·诺伊曼莫属。于是大会的请柬寄去了，讲演的题目 “数学未决问题” 也发给了参会代表。1954年9月2日的下午3时整，风尘仆仆匆匆赶来的冯·诺伊曼从嘴里吐出的是他三十年代早先工作的拿手好戏 “算子环”，而不是什么未决问题，这不啻给了众多翘首以盼的数学家们一记闷棍。 因而，戴森评述道：冯·诺伊曼“实则是只青蛙，但每人都希冀他像一只飞鸟 (He was really a frog but everyone expected him to fly like a bird)。”
冯·诺伊曼 但是，肯定会有一些同吨位的科学家不敢苟同如上的断言。1954年，冯·诺伊曼正在热衷于做他不愧于“现代计算机之父”称号的雄伟事业，他或许太忙了而不得不怠慢国际数学家大会对他的如此重托。由于这个插曲而得出“他不是鸟类数学家”的结论恐怕是有点理由不十分充沛的。希尔伯特的发明力或许更强于冯·诺伊曼，但依据数学家传记名作《希尔伯特：数学界的亚历山大》(Hilbert) 中的记载，他在精心准备1900年数学家大会的“数学问题”演讲稿时，得到了他终生朋友闵可夫斯基 (Hermann Minkowski，1864-1909) 的鼎力辅佐，所以他能提出影响深远的那堆23个问题，也是两副数学巨脑“思想碰撞”的结晶。 法国布尔巴基数学学派的开创人之一兼第一写作高手迪厄多内 (Jean Dieudonné，1906-1992)，把冯·诺伊曼称为“最后一位巨大的数学家”。曾在四十年代当过冯·诺伊曼的助手、写过几本喜闻乐见数学名著的匈牙利裔美国数学家哈尔莫斯 (Paul Halmos，1916-2006)，对他的评价只用了一句话概括：“巨大的冯·诺伊曼使全人类受益”。而另一位匈牙利裔美国数学家、拿过美国国度科学奖、沃尔夫奖和阿贝尔奖的拉克斯 (Peter Lax，1926-)，则把他描画成二十世纪一个具有“最令人生畏特殊技术才干”以及“火花四射高智力”的大学者，说他有“最强大脑” (the most powerful brain)。他在一次留念这位祖国先贤的采访中以至如此以为：“假如冯·诺伊曼活得长一点，他肯定能够取得数学的阿贝尔奖、诺贝尔经济学奖、计算机的大奖、量子力学的诺贝尔物理学奖，等等。” 冯·诺伊曼比我们中的绝大多数人都活得短，可是世界由于他而截然不同。只需读一读麦克雷 (Norman Macrae，1923-2010) 于1992年出版的佳作《天才的拓荒者——冯·诺伊曼传》(John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More)，只需看一眼当事人之一的戈德斯坦 (Herman Goldstine，1913-2004) 在他1972年所出版的书《计算机：从帕斯卡到冯·诺伊曼》(The Computer from Pascal to von Neumann) 中认真回想的美国现代计算机五十年代早期延展史，就能够想象，假如仅仅活到刚过了53周岁华诞42天的冯·诺伊曼能活到六十年代初美国第一届国度科学奖颁发，说不定评奖委员会真的难以决议是把这个美国科学家的最高荣誉授予他还是授予同样对美国贡献庞大的前辈匈牙利人冯卡门。这个悬念的依据之一是：在冯诺伊曼逝世的前一年，美国总统艾森豪威尔 (Dwight Eisenhower，1890-1969) 授予他“总统自由勋章”。 简单回想了柯尔莫哥洛夫和冯·诺伊曼的科学生活后，我们既赞扬二十世纪数学天穹的东西两片天空曾经闪烁过这两颗光辉四射的星球，又遗憾认识形态之争所激起的汹涌湍流令他们无法在数学大海中“同志加兄弟，并肩去畅游”的事实。但是，依照“科学无国界”的普适信心，同年出生的他们对整个数学事业，为全部人类荣光做出的丰功伟绩，将“与天壤而同久，共三光而永光”。 完稿于2023年2月4日星期六 美国哈蒂斯堡夏日山庄 |
名表回收网手机版
