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早在1917年，阿尔伯特·爱因斯坦就曾经成名，成为一个众所周知的名字，确切地说，应该是“爱因斯坦”。 他计算出了原子的大小，发现了质量和能量的等效性，开创了量子物理学的时期，并引领了一种被称为“羊毛卷新星”的发型……他的阅历和成就真实令人印象深化，而他自己引以为傲的成就，无疑是创建了广义相对论。这是一个无比文雅的等式，是一次宇宙探求之旅，是对牛顿力学的一记漂亮的回旋踢。 爱因斯坦在广义相对论中描画的真相如此惊世骇俗，致使于《纽约时报》的文章中以至表白了对它可能把“乘法表”都推翻的担忧。而关于广义相对论的一切，都树立在一个简单的认知之上：宇宙不只仅是一个装着恒星和行星的盒子，在物质存在的状况下，它会弯曲，也会变形。 叮，又到了思想实验的时间。想象一下这个画面：我正懒洋洋地坐在树桩上，看着一束光以每秒3亿米的恒定速度划过。与此同时，你乘着星舰以惊人的速度追逐那束光，以每秒2亿米的速度从我身边经过。那么，光是先远离我还是先远离你呢？
这个问题是一个圈套！我们都知道，光速是一个恒定的常数。它一直是每秒3亿米（这里指的是光速计算值），不会为任何人改动，往常不会改动——即便在面对速度超快的你时，也不会改动。相反，在这个过程中，改动的是一些更柔软、更有韧性的东西，也就是终间和时间的结构。从我坐着的树桩的角度来看，光甩开你3亿米需求3秒钟。从你在“进取号”星舰上的角度看，光甩开你3亿米只需求1秒钟。这样一来，我的怀表走的速度就比你快了2倍。 是的，运动能够重塑时间。
是不是开端感到头晕了？那你就为下一步做好了准备：物质也能重塑空间。 例如，太阳并不像盒子里的保龄球那样静止不动，而是像床垫上的保龄球，压在织物上，扭曲了周围的时空区域。因而，当一颗行星绕太阳运转，或一个苹果朝地球的方向坠落时，它们并不会堕入某种牛顿引力无法解释的痛苦之中，只是在沿着阻力最小的途径穿过一个弯曲的四维空间而已。 物理学家约翰·惠勒（John Wheeler）说：“物质通知时空该如何弯曲，而弯曲的空间则通知物质该如何运动。”
1915年11月，爱因斯坦从以上这些事实中提炼出了引力场方程。物理学家卡洛·罗韦利（Carlo Rovelli）写道：“固然这个方程写出来不外半行，但在这个等式中，存在着一个丰厚多彩的宇宙。”引力场方程预测光会在重的物体周围弯曲；相比谷底的时间，山顶的时间会收缩；引力波能够在宇宙中传播，大恒星会坍缩成奇点（后来被称为“黑洞”）……“一连串梦境般的预言，好像一个疯子的呓语，”罗韦利写道，“但最后都被证明了是真的。” 但是，即便这个等式就像从魔法棒中冒出来的守护神一样发出了新的预言，爱因斯坦依旧不太称心。 诚然，广义相对论能够描画绕着轨道运转的行星和弯曲的光子，但这些都是有限的有界系统，只是宇宙的一部分。爱因斯坦在给同事的信中写道：“相对论的概念能否能够一以贯之，还是会招致矛盾？这个问题急需处置。”他往常想要的是终极大奖，是一切狂欢节上那只最大的泰迪熊。 那么，广义相对论真的能描画整个宇宙吗？
这个问题十分契合积分学的精髓，它表示了从“很多很多的小东西”到“一个大的整体”的飞跃。事实上，它的确触及了积分问题；固然爱因斯坦在1917年发表的著名论文中采用的是一个不同的解法，但在1918年，他发现自己实践上还是在求积分。爱因斯坦更喜欢这个求积分的新公式，他写道：“新的公式有一个庞大的优势，那就是……量作为积分常数出往常了基本方程中。” 这里的“量”指的是什么呢？别着急，我们晚些时分会说到。往常先聊聊，积分常数是什么。
关于这个问题，假如你问一个正在学微积分的学生，答案就是每个不定积分后面烦人的“+C”。这个花哨的符号与你正在计算的积分无关，但依据一些不成文的规则，你永远不能遗忘“+C”，否则就会被小气又呆板的阅卷教员扣分。 这个常数从何而来？正如我们在前文中讨论过的，积分和微分是互逆的运算过程。求积分时，我们会看着那个函数，然后问自己：它的导数是什么？ 假定一个跑步者以每小时7英里的稳定速度行进。速度图是这样的：
那么积分呢，也就是位置图？嗯，以下是其中一种可能性：
但是，这不外是一个假定，假定跑步者在正午时分从家里动身。实践上，我们真的不知道这场赛跑是从哪里开端的。或许是离家1英里、2英里、7英里……又或许是在相反的方向上离家3.5英里，这样就会在中午12：30到家。这样的位置函数可能有无数个，除了加上或减去某个固定的距离，而它们中的每一个都长得一模一样。能够是7x、7x+1、7x+2、7x+3…
为了不耽搁大家享用晚餐，我就不逐一列出那无数的可能了，而是用简单的公式7x+C来概括这个大家族。在这里，“C”就是一个积分常数，是“任何数字”的缩写。只需一笔，它就能把一条曲线变成无量大的家族。不外，也正是由于这样的简约干练，容易让人疏忽它的力气和内涵。 当然，爱因斯坦可不会遗忘这个常数。委托，我们谈论的可是有史以来不用梳子的最巨大的科学家之一。不外呢， 他犯了一个更难以察觉但更严重的错误。 “我要带领读者走一遍我走过的路，”爱因斯坦在他1917年发表的论文中写道，“这是一条坎坷不平的路。”事实上，他就像在迷宫般的单行道上前行，在数学的拐角处屡屡受挫。 爱因斯坦第一次尝试描画整个宇宙时，得出的结论与已知的事实相矛盾。在第二次尝试中，他需求明白一个“正确的”参照系，这又违犯了“相对论”的内涵。在第三次尝试中，他采用了一个同事的倡议，但是，得到的结果是“没有处置问题的希望，就相当于放弃”。他那著名的方程式并没有提供足够的灵活性。 最后，爱因斯坦只能经过引入一个积分常数来挽救他的模型：Λ。这是一个希腊字母；爱因斯坦实践上用的是小写的λ，由此可见，他对它或许缺乏尊重。不论怎样，λ就此成为宇宙哲学意义上的常数。
事实证明，这是一个完整有效的数学动作，也是一个不可或缺的动作：没有λ，这个模型就解体了。这个模型预测的能够是一个收缩的宇宙（假如周围环绕着很多物质），能够是一个收缩的宇宙（假如周围没有很多物质），也能够是一个完整无物质的宇宙（以一种可悲、空泛的方式坚持不变的大小）。在这样的状况下，只需一个细致的、能够精密调整的λ值才干让爱因斯坦描画出他所了解的宇宙，即一个包含物质且大小不变的宇宙。 固然如此，爱因斯坦依旧感到尴尬，由于往常整篇论文读起来有点像写给λ的负疚信。他以为这是广义相对论的一个缺陷，它拙劣地把问题复杂化了。λ的必要性让他感到沮丧，就好像一个汽车引擎只需在某种引擎盖的装饰下才干正常运转一样。 这样的状况持续了十多年。1929年，天文学家埃德温·哈勃带来了一条超级大新闻，事实上，假如以立方米为单位来权衡新闻的尺寸，那这应该是有史以来最大的新闻。 哈勃发现，大家此前所说的“那个宇宙”并不是真正的宇宙，只是我们所在的星系——银河系。夜空中那些含糊的螺旋状星云实践上是其他星系，它们的大小与我们的银河系相似，但距离我们有几百万光年，其中大多数还在继续远离我们。因而，宇宙不只比我们想象的要大得多，而且每时每刻都在收缩，宇宙中的星系就像一块正在发酵的面包里的葡萄干一样在分别。
不时收缩的宇宙意味着λ往常能够等于零，固然它并不一定等于零。这对爱因斯坦来说曾经足够了。没有片刻的犹疑或不舍，他果断丢弃了λ，称它“在理论上不令人称心”，并宣布它就是零（不知道是不是与此相关，爱因斯坦在恋爱分手时也这样不留情面）。 他后来写道：“假如哈勃的收缩说在广义相对论创建之时就被发现了，那么这个宇宙学成员（指的是λ）就永远不会被引入。”据他的朋友乔治·伽莫夫（George Gamow）说，爱因斯坦曾坦言“宇宙学常数的引入是他终身中犯下的最大错误”。一些人以为，爱因斯坦把未能预测宇宙的收缩归咎于λ，而这本该是广义相对论皇冠上的宝石。不外，简直没有证据表明他是这么想的。 爱因斯坦狼子野心地研讨宇宙学，目的很明白，就是要证明广义相对论能够树立一个具有普适性的模型，而且他历来没有悲叹过什么“失败的预测”。相反，他对λ的仇恨似乎来自一种个人的审美偏好，即积分常数应该等于零，就像那些坚持以为小孩不应该出往常公共场所的人一样。
不论爱因斯坦到底为什么评价λ是他犯下的“最大错误”，他真正的错误其实是这个评价自身。 1998年，人们发现宇宙不只仅是在收缩，而且这样的收缩正在加速。好像平地一声雷，沉寂了半个世纪的宇宙学定律复生了——它以至以大写字母的姿势重回人们的视野。 往常看来，Λ基本不是零：它捕获到了“暗能量”的存在，这是空阔空间里的一种特殊存在，与引力相抗衡。依据我们目前的探求，它占领了宇宙质量总和的68%。因而，爱因斯坦的积分常数不是一个能够疏忽不计的错误。毫不夸大地说，它占了宇宙质量总和的三分之二。 历来没有人说过爱因斯坦是一个圆满的数学家，特别是爱因斯坦自己。 “不要畏惧你在数学上遇到的艰难，”他给一个12岁的笔友写道，“我能够向你保障，我遇到的艰难比你还大。” 有一本名为《爱因斯坦的错误》（Einstein’sMistakes）的著作宣称爱因斯坦20%的论文有实质性的错误（希望不要有人写一本书名为《奥尔林的错误》，特地挑我的错误）。弗里兹·诺瓦（FrizzNova）对此不以为意，他打趣道：“历来没有犯过错误的人，应该是历来没有尝试过新东西。”
这就是积分常数。它们很容易被忽视，也很难诠释。有时分它们真的是零，而其他时分，它们其实暗含着关键信息。初学者可能会不当心遗忘这个积分常数；而相比之下，科学家没有遗忘它，他们返回去删除了它，并坚持以为它必须不时是零。 我不知道你们是怎样想的，但是对我来说，爱因斯坦的故事让我十分快乐能参与这个迂回的、不时收缩的宇宙之旅。在这个旅程中，即便是常数，也在讲述着变更的故事。 以上内容摘自《欢乐数学之猖獗微积分》第21章，一挥笔就放弃了存在。 未读出品，天津科学技术出版社2022年10月版，[美]本·奥尔林（BenOrlin）著，唐燕池译。
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