只需八维数字，才干恢复宇宙的实质？

剑桥大学的数学物理学家Cohl Furey正在寻觅粒子物理规范模型和八元数之间的联络。八元数的乘法规则被编码在被称为法诺面的三角图中。（摄影：Susannah Ireland）

关于一维、二维乃至四维的数字，人们都不陌生：一维的实数不时都存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数则是爱因斯坦狭义相对论的基础。但是，最为复杂的数字形态——八元数，又与理想世界存在着怎样的关系呢？

包含本文的主人公，剑桥大学数学物理学家Cohl Furey在内的一些科学家置信，八元数蕴藏着整个宇宙的秘密——我们能够从中推导出构成理想世界的整套相互作用和粒子。这篇文章，就将带我们走进这类奇特而复杂的数字。

2014年，加拿大滑铁卢大学的研讨生Cohl Furey驾车6小时来到了宾夕法尼亚州立大学，希望能和物理学教授Murat Günaydin讨论一个问题。Furey弄明白了如何在Günaydin 40年前研讨的基础上树立新理论。这是一项曾经被多数人遗忘的研讨，它支持一个有关基础物理与纯数学之间联络的猜测。而往常，Furey将它重新带回人们的视野中。

这个猜测固然存在于很多物理学家和数学家心中，但是很少有人做这一范畴的研讨。它以为，构成了理想世界的整套相互作用和粒子，都能够从一种名为八元数的八维数字中推出来。

Günaydin往常是宾夕法尼亚州立大学教授，在1973年他还是耶鲁大学的研讨生的时分，他和他的导师 Feza Gürsey 发现了八元数和强相互作用之间的令人吃惊的联络。强相互作用是将原子核中的夸克分离在一同的力气。其他研讨者最初对这一发现很感兴味，但兴味并没有持续多久。那时一切人都在为粒子物理中的规范模型而搅扰，它能够经过方程描画已知的基本粒子和它们之间的强、弱和电磁相互作用（引力之外的一切基本作用力）。但是大家没有去寻觅规范模型问题的数学解释，更多的物理学家将希望寄予在高能粒子对撞机等实验上，希望会找到预料之外的粒子，从而能够超越规范模型，更深层次天文解理想。他们“想象下一次停顿会自动呈现，而不是经过更深化地思索我们已知的信息而取得。”加拿大圆周理论物理研讨所的 Latham Boyle说。

几十年过去了，物理学家还没有找到超出规范模型的粒子。与此同时，八元数的奇特之美也不时吸收着少数几个有独立想法的研讨者，其中就包含Furey，这个在4年前访问过Günaydin的加拿大研讨生。那时Furey在黑板上草率地写下一串奇特的符号，试图向 Günaydin 解释她将他的工作从强相互作用拓展到了电磁相互作用。

现往常Furey曾经39岁了，她还没能将规范模型中的粒子和相互作用都用八元数来表白出来，也还没能触及到引力这个话题。她强调数学上的可能有很多种，很多专家都以为，找到能胜利兼并八元数和其他可除代数的措施还太早。

最复杂的数

要阐明什么是八元数，要从我们熟习的实数开端——就是那些能够在数轴上找到的数，例如1、π、-83.777。实数能够经过特定的方式凑成一对，组成复数。关于复数的研讨开端于16世纪的意大利，复数和二维坐标平面相似，加法、减法、乘法和除法就像是位置在平面上平移和旋转。将复数以一定的方式配对，能够构成四维的四元数，它是在1843年由爱尔兰数学家哈密顿发现的。哈密顿的律师朋友John Graves随之证明了成对组合的四元数也组成八元数：这种数能够定义八维笼统空间的坐标。

证明了八元数的John Graves（来源：MacTutor History of Mathematics）

之后就不可能构建更复杂的数了。1898年完成的证明阐明，实数、复数、四元数和八元数是仅有的几种可被加减乘除的数字方式。这些“可除代数”中的前三个是20世纪物理学的数学基础，实数不时都存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数则是爱因斯坦狭义相对论的基础。这样的联络让很多研讨人员去思索如何了解最后一个可除代数。八元数中可能包含着宇宙的秘密吗？

当你从实数到复数，再到四元数、八元数把维度逐步翻倍时，Furey解释道，“每一次翻倍，你都会失去一些性质。”好比，实数能够从小到大排列，“而复数散布的平面上，基本没有这样的概念。”接着，四元数没有交流律；关于四元数来说，a × b不等于b × a。这其实也很常见，由于将更高维度的数相乘会包含旋转，当你在高于两维的空间交流旋转的次序时，你最终得到的位置是不同的。到了八元数，分离律也将失效，也就是说(a × b) × c不等于a × (b × c)。“数学家们不喜欢不满足分离律的东西，”加利福尼亚大学河滨分校的八元数专家John Baez说，“由于我们很容易想象不满足交流律的情形，好比先穿袜子再穿鞋和先穿鞋再穿袜子，但是我们很难想象不满足分离律的情形。”好比，除了先穿袜子之后穿鞋，你还能够先将你的袜子放进你的鞋中，再同时穿上袜子和鞋，技术上说，这两种不同的穿法能够让得到相同的结果：衣着袜子和鞋。“括号是一种人为引入的东西。”

八元数不满足分离律的性质障碍了很多物理学家在这方面的努力，但是Baez解释说，八元数奇特的数学性质同时也是最吸收他们的中央。自然用它的四种力支配着几十种粒子和反粒子，它自身也很奇特。规范模型是“奇特且共同的”，他说。

点击查看大图（制图：Lucy Reading-Ikkanda）

在规范模型中，基本粒子表示了三个对称群。所谓的群，指的就是能够让运动方程坚持不变的交流粒子子集的方式。这三个群，SU(3), SU(2) 和U(1)分别对应着强、弱和电磁相互作用，它们作用于6种夸克，两种轻子加上它们的反粒子，每种轻子又分别有三代，每代的粒子除了质量不一样以外其他性质都相同。（第四种基本力——引力与这三种不相容，在爱因斯坦的广义相对论中，引力是时空几何的弯曲。）

粒子汇合表示的是规范模型中的对称性，就像是正方形为了满足90度的旋转对称性必须存在四个顶角一样。问题在于，为什么是SU(3) × SU(2) × U(1)这个对称群？还有，为什么就是这样的一套粒子，具有各种力荷、巧妙的手征和冗余的三代粒子？看待这类问题的传统态度是将规范模型看成是更为完好理论结构的一部分。但另外一种措施，是试图经过八元数来“从逻辑上处置这些奇特的性质，”Baez说。

当Furey在研讨生时期了解到四元数能够描画粒子在四维时空中的平移和旋转时，她就开端严肃地探求这种可能性。她思索了粒子的内禀性质，好比它们的电荷。“我发现具有8个自由度的八元数能够和粒子中的一代相对应：一个中微子，一个电子，三个上夸克和三个下夸克。” 她说，这有点像之前令人轻视的数字占卜。但是这样巧合也在之后的研讨中激增。“假如研讨项目是一个谋杀谜案，”她说，“我会以为我们仍在搜集线索阶段。”

在剑桥大学三一学院前的Cohl Furey。（摄影：Susannah Ireland）

Dixon代数

为了却构出粒子物理，Furey运用的是四种可除代数的直积RCHO（R是实数,C是复数,H是四元数，O是八元数），有时分也被称为Dixon代数，因物理学家Geoffrey Dixon得名。在20世纪七八十年代是他最先开端探求这个范畴，但是之后他没能得到教职，分开了这个范畴。（Dixon从他的回想录中截取了一段发给我：“我当时有的是一种不受控制的直觉，我觉得这些代数是了解粒子物理的关键，假如跟着这个直觉走跌下悬崖我也愿意，有人或许会说我的确这么干了。”）

Dixon和其他人继续将可除代数和其他数学工具分离时，而Furey限制了自己的活动范围；在她的体系中，代数“只作用于自己”。依据RCHO分离，4个数的体系能够构成一个64维的笼统空间。在这个空间中，依据Furey的模型，粒子是数学上的“理想”（ideal，汇合论的一个术语），也就是这样的一种子集，其中的元素，和整个汇合中的其他元素相乘后得到的元素还在这个子集中，这使得粒子运动、旋转、相互作用和转化后仍是粒子。她以为理想是粒子的实质，它们能够满足RCHO的对称性。

Dixon也知道，这个代数结构会分红两个部分：CH和CO，即复数与四元数、复数与八元数的直积（和实数的直积是平凡的）。在Furey的模型中，与粒子在时空中移动和旋转相联络的对称性，也就是洛伦兹群，会出往常代数结构中的四元数CH部分。对称群SU(3) × SU(2) × U(1)，描画粒子的内禀性质以及强、弱和电磁力相互作用，会从八元数部分CO呈现。

Günaydin和Gürsey在他们的早期工作中，曾经发现SU(3)是八元数的一部分。思索八元数的一组单元，1、 e1、 e2、 e3、 e4、 e5、 e6和 e7，是八个相互正交的方向上的单位距离：它们表示一种名为G2的群对称性，也就是一种“exceptional群”，它在数学上不能被归到恣意一个往常已知的对称群中。八元数和exceptional群以及其他特殊数学对象的关系，足够让我们置信它具有重要意义，好比，菲尔兹奖和阿贝尔奖取得者，著名数学家 Michael Atiyah就置信最后的关于自然的理论一定是有关八元数的。他在2010年说到：“我们想找到的终极理论，需求把引力归入到其他理论中，其方式应该是把引力看作八元数和exceptional群的结果。”他弥补道：“这会是很难的工作，由于我们曾经知道八元数就是很难的理论，但是当你找到了它之后，它应该是一个美丽的理论，而且共同。”

将e7固定，改动其他单元会将它对称性降为SU(3)群。Günaydin和Gürsey应用这一性质树立了第一代夸克上的强相互作用的八元数模型。

Furey走得更远。在今年5月于《欧洲物理期刊C》（The European Physical Journal C）发表的文章中，她整合了几项研讨，为单独一代粒子结构出了完好的规范模型对称群，SU(3) × SU(2) × U(1)，经过数学能够得出电子、中微子、三个上夸克、三个下夸克和它们的反粒子的正确电荷数和其他的属性。数学计算也解释了为什么电荷是量子化的，由于数在实质上就是这样的。

但是，依照这种解释粒子的方式，研讨者还不知道怎样才干自然地把模型扩展到包含自然界的全部三代粒子。但是在一篇正在专家之间流通，由《物理快报B》（Physical Letters B）评审的新论文中，Furey用CO来结构规范模型中的两个非破缺的对称性，SU(3)和U(1)。（在自然界中，SU(2) × U(1)经过希格斯机制破缺为U(1)，这一机制能够使粒子取得质量。）在这样的状况下，作用于一切三代粒子的对称性也允许惰性中微子存在，这种粒子是物理学家往常积极搜索的暗物质的候选者。“三代粒子的模型只需SU(3) × U(1)，所以它是更为基本的，” Furey通知我，“问题在于，有没有很明显的措施来从一代模型的图像过渡到三代模型？我以为存在这样的措施。”

这是她往常所思索的主要问题。一些其他的数学物理学家也同样在尝试用一种包含八元数的结构——exceptional Jordan代数来结构三代粒子的模型。经过多年来单独的工作，Furey往常开端和用不同措施的研讨者协作，但是她更喜欢依旧在这四个可除代数RCHO范围内思索问题。它曾经足够复杂，能够来经过多种方式提供灵活性。Furey的目的是找到这样的模型，它看上去是理所应当的，而且能够解释质量、希格斯机制、引力和时空。

往常，数学上曾经有了关于时空的概念。她发现RCHO元素的一切乘法链都能够由10个被称为“生成元”的矩阵生成。其中的9个生成元代表空间部分，第10个生成元，其符号和前9个相反，代表时间。弦论中也预言了十维时空，八元数中也有相似的结论。Furey的工作能否能和弦论联络在一同还有待去发现。

最后的理论

Furey拒绝回答我提的那些更偏哲学的、有关物理和数学之间关系的问题，好比，它们在基本层次上能否是一体的、相同的？她对为什么可除代数的性质是处置问题的关键这一谜题更感兴味。她同时也有一种预见，反映了研讨者常有的对无限的恶感，她猜测RCHO实践上是一种近似，在最终理论中它会被取代，而取代它应该是一个不触及无限连续实数的相关数学系统。

这些都只是直觉上的想法。但是随着规范模型圆满地经过了检验，大型强子对撞机上也不时没有新粒子呈现的迹象。既物理学界洋溢着一种既不安又兴奋的氛围，怂恿研讨者重新回到黑板和白板上。往常有一种一切都待完成的觉得，“或许我们还没有完成将现有发现整合起来的工作，”圆周研讨所的Boyle说。他以为能够将这项工作完成的可能性“比很多人预期的都要高，”他还说这“应该遭到比往常更多的关注，所以我很开心会有一些像Cohl的人正在努力推进这项研讨。”

Boyle自己没有研讨规范模型和八元数之间的关系。但是和很多人一样，他招认听说过关于这个范畴的一些诱人传言。“我也同样怀有希望，”他说，“即便狐疑的人，也以为八元数最后可能在基础物理中表演重要角色，由于这个理论真实是很漂亮。

∑编辑 | Gemini

作者 | Natalie Wolchover

转自：数学中国