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本文给出 2022 年高考全国乙卷理科数学试题。我会对每道题做简短的提示，用加粗题号表示接下来将会写文章讲的题，随后通过这些题说明试卷的特点和备考方法。没有被选中的题并不是毫无意义，请读者在提示下自行解读。 1. 设全集 U=\left\{1,2,3,4,5\right\}, 集合 M 满足 \complement_UM=\left\{1,3\right\}, 则 A. 2\in M B. 3\in M C. 4\notin M D. 5\notin M 请留意集合运算与命题运算的关系，以及双重否定等于肯定。 2. 已知 z=1-2\mathrm i, 且 z+a\overline z+b=0, 其中 a,b\in\mathbb R, 则 A. a=1,\ b=-2 B. a=-1,\ b=2 C. a=1,\ b=2 D. a=-1,\ b=-2 利用两个复数相等的与实部和虚部有关的条件，复数的运算和共轭复数的定义。 3. 已知向量 a,b 满足 \left|a\right|=1, \left|b\right|=\sqrt 3, \left|a-2b\right|=3, 则 a\cdot b= A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 向量 v 的长度 \left|v\right|=\sqrt{v\cdot v}, 这太重要以至于我将它理解为定义，并且我希望你能习惯于抽象的向量运算。 4. 设 b_1=1+\frac{1}{a_1}, b_2=1+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}, b_3=1+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}}, \cdots, 其中 a_1,a_2,a_3,\cdots\in\mathbb N^*, 则 A. b_1<b_5 B. b_3<b_8 C. b_6<b_2 D. b_4<b_7 作为选择题，可以假设 a_1,a_2,a_3,\cdots=1, 直接确定答案。 为了严格讨论，由于 \left\{b_n\right\} 不是单调的，需要考虑的因素较多，除了相邻的两项要比较，还要看到整体的结构。 5. 设 F 为抛物线 C:y^2=4x 的焦点，点 A 在 C 上，点 B\left(3,0\right), 且 \left|AF\right|=\left|BF\right|, 则 \left|AB\right|= A. 2 B. 2\sqrt 2 C. 3 D. 3\sqrt 2 解决问题的关键在于得到 A 的横坐标，可以通过抛物线上的点到焦点与准线的距离相等得到。 6. 执行下面的程序框图，输出的 n=  A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 除了有点麻烦，本题没什么难度，不过本题所示程序的意义值得探讨。 7. 在正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 E,F 是 AB,BC 的中点，则 A. 平面 B_1EF\perp 平面 BDD_1 B. 平面 B_1EF\perp 平面 A_1BD C. 平面 B_1EF\ \parallel 平面 A_1AC D. 平面 B_1EF\ \parallel 平面 A_1C_1D 法向量的方向与平面的方向是一对一的，这是处理平面的最本质的方法。不过涉及到平面与平面垂直时，并不需要完整地关注平面的方向，只要一个平面的法向量在另一个平面上就可以了。 8. 设等比数列 \left\{a_n\right\} 的前三项和为 168, a_2-a_5=42, 则 a_6= A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 直接利用等比数列的通项公式列方程。 9. 已知球 O 的半径为 1, 以 O 为顶点的四棱锥的底面的四个顶点均在球 O 的表面上，则当四棱锥的体积最大时四棱锥的高为 A. \frac13 B. \frac12 C. \frac{1}{\sqrt 3} D. \frac{1}{\sqrt 2} 四棱锥的体积与底面积和高有关，而在本题中，即使固定高，底面积也是可变的，只是找到最大的情况即可。我们可以猜测圆内接四边形为正方形时面积最大，找到底面是正方形时体积与高的关系，然后让体积最大。 10. 某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立，该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率为 p_1,p_2,p_3, 且 p_3>p_2>p_1>0, 设 p 为该棋手存在两盘连胜的概率，则 A. p 与该棋手与甲，乙，并比赛的顺序无关 B. 当该棋手在第二盘与甲比赛时 p 最大 C. 当该棋手在第二盘与乙比赛时 p 最大 D. 当该棋手在第二盘与丙比赛时 p 最大 可以直接推测或者给 p_1,p_2,p_3 赋值确定答案。严格讨论的话，就要表示出各种情况下的 p, 然后作差比较。利用韦恩图也可以帮助理解。 11. 设 F_1,F_2 是双曲线 C 的焦点，圆 D 以 C 的实轴为直径，过 F_1 作 D 的切线与 C 交于点 M,N, 且 \cos\left(\angle F_1NF_2\right)=\frac35, 则 C 的离心率为 A. \frac{\sqrt 5}{2} B. \frac32 C. \frac{\sqrt{13}}2 D. \frac{\sqrt{17}}{2} 本题同时涉及到双曲线与圆，如何用好直线 MN 是 D 的切线的条件，并结合双曲线的几何意义是关键。 12. 设 f,g 是定义在 \mathbb R 上的函数，且 f\left(x\right)+g\left(2-x\right)=5, g\left(x\right)-f\left(x-4\right)=7, g\left(2\right)=4, 图像 y=g\left(x\right) 关于直线 x=2 对称，则 \sum_{k=1}^{22}f\left(k\right)= A. -21 B. -22 C. -23 D. -24 本题是抽象的函数问题。在不知道表达式的情况下，利用已知条件进行讨论。为了解决这样的问题，必须深知条件中隐藏的逻辑用语，并理解函数的一般意义。同时不可以把一切的希望交给逻辑，而是主观上对函数性质有认识，协助完成推理。 13. 从包含甲，乙的五名同学中随机选三名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 这是古典概型的问题，只要明确共有多少种选法和有多少种满足条件的选法就可以了。 14. 过四点 \left(0,0\right), \left(4,0\right), \left(-1,1\right), \left(4,2\right) 中的三点的一个圆的方程为 过不共线的三个点，有且仅有一个圆，而这四个点不存在共线的三个，因此可以随便选。不过，你应该选择计算简便的。因为 \left(0,0\right), \left(4,0\right), \left(4,2\right) 是直角三角形的三个顶点，所以相应的圆心和半径都容易确定。 15. 记函数 f\left(x\right)=\cos\left(\omega x+\varphi\right) \left(\omega>0,\ 0<\varphi<\pi\right) 的最小正周期为 T, 设 f\left(T\right)=\frac{\sqrt 3}{2}, 且 f 的一个零点是 \frac\pi9, 则 \omega 的最小值为 可以用 f 的表达式中的变量表示 T, 进而根据条件列出方程。本题看起来不是那么常规，但是没有任何特殊的技术成分。 16. 设 x_1,x_2 是函数 f\left(x\right)=2a^x-\mathrm ex^2 \left(a>0,\ a\ne 1\right) 的极小值点和极大值点，且 x_1<x_2, 则 a 的取值范围是 虽然本题是客观题，但是用到了深入的函数理论和方法，用导数讨论单调性。 17. 记 \triangle ABC 的三个内角 A,B,C 所对边为 a,b,c, 设 \sin\left(C\right)\sin\left(A-B\right)= \sin\left(B\right)\sin\left(C-A\right). (1) 证明 2a^2=b^2+c^2; (2) 设 a=5, \cos\left(A\right)=\frac{25}{31}, 求 \triangle ABC 的周长。 解三角形问题要用余弦定理和正弦定理是常识，但是不加思考地乱用是不可取的，且背后的逻辑有时会影响到问题的解决。 18. 如图，四面体 ABCD 中，设 AD\perp CD, AD=CD, \angle ADB=\angle BDC, E 为 AC 的中点。  (1) 证明平面 BED\perp 平面 ACD; (2) 设 AB=BD=2, \angle ACB=\frac\pi3, 点 F 在 BD 上，求当 \triangle AFC 的面积最小时 CF 与平面 ABD 所成角的正弦值。 高考的立体几何问题逐渐从静态发展到动态，例如本题就出现了动点 F, 需要讨论何时 \triangle AFC 的面积最小。此外，本题中平面 ABC 与平面 ACD 的夹角非常关键，而这是需要通过有关长度的条件求出的。 19. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积和材积量，得到如下数据： \begin{array}{|c|}\hline样本\,i&1&2\\\hline 根部横截面积\,x_i&0.04&0.06\\\hline 材积量\,y_i&0.25&0.40\\\hline\end{array} \begin{array}{|c|}\hline3&4&5&6&7\\\hline 0.04&0.08&0.08&0.05&0.05\\\hline0.22&0.54&0.51&0.34&0.36\\\hline\end{array} \begin{array}{|c|}\hline 8&9&10&总和\\\hline0.07&0.07&0.06&0.60\\\hline 0.46&0.42&0.40&3.90\\\hline\end{array} 并计算得到 \sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.0380, \sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158, \sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474. (1) 估计该林区这种树木的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数，精确到 0.01; (3) 现测量了该林区所有树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积的总和为 186. 假设数目的材积量与其根部横截面积近似成正比，估计该林区这种树木的总材积量。 附：相关系数 r=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2\sum_{i=1}^n\left(y_i-\overline y\right)^2}}, \sqrt{1.896}=1.377. 原本没什么好说的，就是用样本估计总体，以及利用材料。不过本题涉及到一些减少计算量的技巧，这是需要认真对待的。 20. 设椭圆 E 的中心为原点，对称轴为坐标轴，且过 A\left(0,-2\right), B\left(\frac32,-1\right) 两点。 (1) 求 E 的方程； (2) 设过点 P\left(1,-2\right) 的直线交 E 于 M,N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T, 点 H 满足 \overrightarrow{MT}=\overrightarrow{TH}, 证明直线 HN 过定点。 解析几何的基本思想就是用方程表示条件，不过有时处理方程也是有一定难度的，此时就要回到几何条件寻找突破口。 21. 设函数 f\left(x\right)=\ln\left(1+x\right)+ax\mathrm e^{-x}. (1) 设 a=1, 求曲线 y=f\left(x\right) 在点 \left(0,f\left(0\right)\right) 处的切线方程； (2) 设 f 在 \left(-1,0\right) 和 \left(0,+\infty\right) 上各有一个零点，求 a 的取值范围。 本题无法通过构造新函数简化问题。面对复杂的函数和导数，需要提前找到临界情况，再对各种情况进行讨论，这样才能让问题变得简单。 |
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