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本文原载于《数学文化》第十一卷（2020年）第1期
编者按 本文来源自Donald J. Albers. Interview with Irving Kaplansky. The College Mathematics Journal, 22:2, 98-117(1991). 感激Mathematical Association of America受权翻译并转载。文中“MP”指采访者。
欧文卡普兰斯基 ，1963年摄 欧文卡普兰斯基（Irving Kaplansky, 1917-2006）又称“卡普”（Kap），是加州大学伯克利分校美国国度数学科学研讨所（MSRI）所长。作为一名管理者，他从未遗忘导师桑德斯麦克莱恩（Saunders Mac Lane, 1909-2005）给他的倡议：“随时都要表示得就像你必须在第二天向参议院调查委员会解释你的行动一样。” 卡普兰斯基因其对无限代数的研讨而备受尊崇，但他也为自己作为一名教员所做的工作而感到自豪。他敦促我们要避免对数学内容“博览群书”，并请求我们在真正了解时向他人解释。在芝加哥大学40年的教员生活中，卡普兰斯基培育了50多名博士生，他还抽出时间与他人讨论并向他们解释！在研讨数学之余，卡普喜欢创作歌曲并担任一名“圆满伴奏者”。 圆满伴奏者 MP：您在很小的时分就开端喜欢数学吗？ Kap：待会儿我还有其他的事情要通知你，所以先让我们把这件事弄分明。最初的时分我的家人以为我会成为一名钢琴家。 MP：他们从哪里看出来的？ Kap：我分明地记得这件事，只是无法肯定精确的日期。我母亲说当时我四岁，我想大约是这个时分。总之，我被带去观看了一场意第绪语歌舞喜剧，我记得喜剧的名字是《金雀》。这可能是部低层次的歌舞喜剧，但它对我来说却是一种启示，使我明白了音乐能够带来这种方式的文娱。为了方便我姐姐上课，家里以前买了一架钢琴，当那天回到家后我坐下来弹奏了该剧的抢手歌曲。我往常依旧能够演奏这首糟糕的小曲子。所以在上学之前我就被送去上钢琴课了，并且不时学了大约11年。后来我认识到再继续学下去没有任何意义，我不会成为一名出色的钢琴家。 MP：您喜欢弹奏吗？ Kap：我不喜欢练习，没人会喜欢。但时至今日我依旧喜欢弹钢琴。我有时会说上帝想让我成为圆满的伴奏者——更确切的说法可能是圆满的排演钢琴师。我弹奏很大声，弹奏过一段时间，但我演奏得并不好。但是，音乐对我来说不时是一种喜好。上高中时，我开端在舞蹈乐队中演奏，这让我得到一点收入。在哈佛大学读研讨生期间，我参与了一个小型爵士乐队，在该地域的各个夜店中止演出。那时的哈佛大学有一个大型乐队，那是一个很大的爵士乐队，我在哈佛的最后一年受邀参与其中。那时我是一名讲师，或许是该乐队成员中独一的教员。记得当时我在哈佛大学拉德克利夫学院教微积分，班上很多参与舞会的女生看到她们的教员在弹钢琴都很诧异。 MP：您突破了人们对数学家的呆板印象。 Kap：在哈佛我还与运营广播电台的孩子们打交道，我有一个固定节目，他们称之为“”（Kaplansky Kapers）。 MP：您有没有像汤姆莱勒（Tom Lehrer, 1928-）那样写一些歌?
卡普两岁时在父亲的膝前， 从左至右：父亲萨缪尔、欧文、莫里斯、马克斯、玛丽、 母亲安娜 Kap：没有。汤姆莱勒实践上是我在哈佛大学的学生，在这方面我没有他那样的天赋。我模仿当时盛行的艺术家并对他们作出过评论，例如弗兰基卡尔（Frankie Carle, 1903-2001）。我还模仿黑兹尔斯科特（Hazel Scott, 1920-1981）的作风。在我去芝加哥大学做讲师后，这类事情暂停了很长一段时间。这是20年前，在我兴奋地成为我所说的校园伴奏者之前最好的一段阅历。无论在校园里做出什么猖獗的表演，人们都知道我很想并且有才干伴奏好。
卡普兰斯基大学时的音乐表演海报 MP：您如何解释这20年来的中缀呢？是由于要抚育孩子或相似的事情吗？ Kap：这是部分缘由，主要还是我不知道怎样与他们联络。最后，我无意中经过商学院的教授鲍勃阿什赫斯特（Bob Ashenhurst）又重新联络上了。或许我们在这个问题上谈论了太长时间。 MP：喔，一点也不长。 Kap：当时我是数学系主任，我们正在成立一个应用数学项目。鲍勃在哈佛大学取得了应用数学学位，所以我们约请他参与该项目的委员会。后来在一次闲谈中发现他在校园里的《吉尔伯特和苏利文》（Gilbert and Sullivan）歌剧社团里十分生动。我向他招认我在伴奏《吉尔伯特和苏利文》歌剧上很有阅历，听了之后他肉体为之一振，说：“伙计，我们正需求一位钢琴家！”我记得我接下来的事情是排演《鲁迪戈》（Ruddigore）歌剧。在那之后，我认识了对伴奏型人员感兴味的人，我以至还为演出写了一点音乐。接下来的几年里，为了在芝加哥培育学生肉体，我们组建了一支足球队并与左近像诺克斯学院这类球队踢球——他们雇了一个汽笛风琴在大学左近的街道上跑来跑去，我就担任弹奏汽笛风琴。我有一个剪贴簿能够给你看。
卡普兰斯基在芝加哥大学时的 音乐表演海报 MP：（接过剪贴簿）哇，这太棒了！ Kap：这是一首成熟的歌曲。副歌采用圆周率π的前14位小数并以明显的方式将它们转换成音阶的音符。在我们终了这个话题前，我想花几分钟时间来解释下是如何做到这一点的。 MP：好的。 Kap：我会讲得简短些，固然我能够就这个主题作整整一个小时的讲演，而且我曾经这样作了好几次。鲍勃阿什赫斯特也参与了这件事。我要讲的是我称之为音乐黄金时期的歌曲，粗略地说是从1920年到1950年。1950年摇滚乐开端盛行，盛行音乐也随之改动。早期的大部分歌曲都是以AABA的结构呈现，以至普通人也可能知道这是什么意义。有一段A旋律是重复的，然后是一段不同的旋律，然后再回到A，但不是一切的歌曲都具有这种结构。依据我的记忆，那是我在舞蹈乐队演奏的时分第一次留意到有另一种结构，随后我称之为类型Ⅱ，类型Ⅱ的方式是AA'BAA'BA"。这里的A是四小节乐句，A'和A"是变体，B是一段不同的八小节乐句。我曾经觉得任何爵士噪音乐家都很分明这种类型的存在。我曾经向鲍勃阿什赫斯特提起过这件事，他十分吃惊，但后来他同意了我的见地。随后我查阅文献，但在文献中没有找到有关类型Ⅱ的内容，或许是由于我查找得并不全面。当我第一次讲类型Ⅱ的歌曲时，写了一首关于圆周率π的歌曲。这是那次讲演的高潮，想法是假如采用类型Ⅱ的方式，你能够用圆周率π的前十四位小数这类无关的题材来创作一首过得去的歌曲，关键是类型Ⅱ是一种更好的歌曲结构。最后我要提及的是，当我观看伍迪艾伦（Woody Allen, 1935-）导演的《岁月流声》（Radio Days）时，他竟用了25首黄金时期的歌曲，我留意到大多数歌曲都是采用类型Ⅱ的结构。 我曾经做过一次统计，剖析了一百首歌曲，我发现有70首是AABA的结构，20首是类型Ⅱ的结构，还有10首是无规律的。所以，固然通常只需1/5的歌曲是类型Ⅱ的结构，但伍迪艾伦选择的歌曲一半以上是类型Ⅱ的。我想知道这是不是碰巧发作的。我的推测是他的品味是出于本能地好。例如，“在黑暗中跳舞”（Dancing in the Dark）是第一首呈现的歌曲，第二首是“唐人街，我的唐人街”（Chinatown, My Chinatown）。它们都是优秀的类型Ⅱ结构的歌曲。 MP：您应该写信给伍迪艾伦。 Kap：我不会给伍迪艾伦写信，他会误以为我是疯子。但是我却给艾列克怀尔德（Alec Wilder, 1907-1980）写了一封信，他是写过有关这些歌曲的权威著作的作者，但我不时没收到回信。关于音乐的故事，这就足够了。让我们中止接下来的提问吧。 健康面包与数学 MP：好的。您能够通知我一些在原籍加拿大的事情吗？ Kap：我家的原籍在加拿大多伦多。第一次世界大战爆发前夕我父母恰恰从波兰来到加拿大。二战对波兰来说更糟糕，但一战曾经足够糟糕了。我出生于1917年，是四个孩子中最小的。我父亲是东欧犹太人所尊崇的有求知欲的学者的代表，他知晓犹太法典并随时能够对要点提出质疑：当圣人说x时，其实真正的意义是y。他做好了成为一名拉比1的准备，但到了加拿大后他并没有做好以此营生的准备。他在多伦多销售服装的区域做一名裁缝，但收入真实缺乏以养活四个饥饿的孩子。所以我有进取肉体的母亲开了一家杂货店来补贴家用，杂货店生意很不错，所以她尝试做其他的生意。后来她开了一家烘焙店，后来还展开了十家连锁店，并且在多伦多颇有名气。全家人都在面包店辅佐，我也如此，但后来由于要去读研讨生，我就分开了。 MP：这家连锁烘焙店叫什么名字？ Kap：叫健康面包烘焙店。我母亲烘烤了一块全麦面包，邻居和朋友都赞不绝口，这成为兴办烘焙店的基础。但烘焙店实践是在售卖蛋糕，这是收入的来源。但是用她自己的配方制造的健康面包不时在做，直到后来烘焙店被卖掉。 MP：您母亲一定是一个很棒的人，能冒险创业还加以扩张。 Kap：她历来没有上过学。东欧犹太人，特别是比较正统的犹太人，不会给他们的女儿受教育的机遇。固然如此，她还是学会了足够用于读和写的意第绪语。当然她的英语学问很系统，她只是无认识中就做了这些事情。 MP：您是什么时分第一次认识到数学可能是你终身要做的事情的？ Kap：我在还比较小的时分就知道数学是我想要的东西。有时，我会对那些正在犹疑能否要读数学系研讨生的人说：假如你还在纠结，那就算了吧。只需当你知道数学是你余生独一想做的事情时才应该踏入数学这一范畴，由于从事数学研讨并不能得到很好的经济回报，而且会有很多波折。 MP：但是您当时知道吗？ Kap：我当时就知道。当我通知家人不要再把钱花在给我上钢琴课时，我就非常分明地知道这一点。但是在我的回想里，“数学在未来某天对我来说是十分特别的”这样的觉得最早可能是在四年级的时分呈现的，我通知算术教员平方数总是以……终了，我们不论到底是什么了。我记得教员对我这个小捣蛋十分吃惊。
安娜和她的孩子，从左至右：欧文、马克斯、玛丽、莫里斯 MP：您有依据吗？ Kap：当然。我在本子上写下很多平方数，但我不以为我证明了它。几年后的第二次回想是，教员给我们出了一道算术题：100件物品分红蓝色和绿色，或是其他颜色。这只是两个二元线性方程。我从我哥哥的书中学过一些代数学问（后来我得到了他的微积分书），所以当教员请求作答时，我把代数解法写在了黑板上。她礼貌地笑了笑，说：“我们不能这样做，”然后她把它擦掉了。 MP：数学的提高对您有没有启示？ Kap：我从公共图书馆借了一本关于数学游戏的书，但我记得那本书并不是特别好。书中有些基本的内容，其中有部分是关于完整数的，这是我对完整数的最早了解。作者所做的只是给出它的定义和最初几个例子，但我终身都迷上了它。从毕达哥拉斯开端，我想很多人都和我一样。从那以后，我就喜欢关注奇完整数和梅森素数的停顿。那本书的作者没有指出即便在最初几个完整数中也会呈现的明显方式，我发现了它，随后证明每个偶完整数都必须是这种方式。这可能是我证明的第一件事。 MP：那时您几岁？ Kap：十三岁。于是我写信给出版社，通知他们我想联络作者。他们把作者的 MP：好棒的教员。 Kap：我给他看了这个证明，他说他会检查一下。第二天他通知我，我的证明有点晚了——欧拉在两百年前曾经证明了它。当然，我的证明和欧拉的证明实质上是一样的。每个人都可用这种方式证明它。我想我当时有点失望。 MP：往常我们谈谈您的大学阶段。您说过那个时分您对数学的投入是认真的，您也在做音乐方面的事情。那您在高中阶段还有其他兴味吗？ Kap：那就够我忙活的了。 数学：真正的学问！ MP：所以您动身去了多伦多大学并马上决议学习数学？ Kap：大约是这样的。实践上，大学第一年都要学习数学和物理，第二年就要选择学习数学或物理。在英式作风的环境中，我们排满了经典数学的课程。或许这对我以后的职业生活有很大的辅佐。另一方面，这可能过犹不迭。经典数学课与现代数学概貌是不均衡的，除了理查德布饶尔（Richard Brauer, 1901-1977）的课是个惯例。我在读大二时他来到这里，我在大三、大四的时分从他那里学到了很多课程，我一看到数学就知道它是真正的学问。我觉得（固然可能并非如此）我更喜欢用代数的方式看待事物，这在很大水平上要归功于布饶尔。 MP：您能细致讲讲吗？ Kap：就以C*-代数为例，我花了很多年研讨它。最终，我把这个理论的很大一部分转化为地道代数的一部分，由于我以为这会分明地勾勒出一些想法。在研讨代数时，无论如何你不可能做一切事情，但你能够经过推行来廓清一个好的部分。你听过拉尔夫博厄斯（Ralph Boas, 1912-1992）的精彩笑话吗？他在20世纪40年代为数学家提出的格言是“推行是明智之选”，这是模仿汽车打蜡公司的一则一语双关的广告“新梦奇（打蜡）是明智之选”（Be wise, Simonize）2。我发现年轻一代的数学家历来没有听说过新梦奇打蜡，所以这个笑话就不再盛行了。你是那一代人吗？ MP：恐怕是的。 麦克莱恩和我喜欢的数学 Kap：让我们将话题转向普特南数学竞赛（Putnam Competition），这是我在多伦多大学的最后一年里参与的，同时也是第一届普特南数学竞赛。当公揭露布时，多伦多大学的教员们十分关注，由于他们睿智地以为我们参与竞赛得到的锻炼会给多伦多大学带来益处。此外，我们的经典课程中还伴有很好的相似学位考试作风的严谨的问题。那时分，关于普特南竞赛来说，这可能是很好的锻炼。往常，（假如要参与竞赛）也有必要接受一些更具现代特征的培训。当时，主办方宣称普特南竞赛分为团队奖和个人奖，而且，其中一名参赛者还能够取得哈佛大学的奖学金。侥幸的是，多伦多大学赢了，我也取得了哈佛大学的奖学金从而不用申请其他中央，也不用再担忧接下来会发作什么。 1938年发作的另一件事情也在一定水平上为我指明了方向。芝加哥大学举行了一次特殊的代数暑期课程。往常，我们聪明的学生想当然地以为，他们人生中的每一步都会得到经济资助；但那时是自己想措施的日子，我去芝加哥大学读书就是自费。在这个暑期课程的开幕会上，桑德斯麦克莱恩作了一场讲演。我想，他做的正是我喜欢的数学！
18岁的的卡普兰斯基 MP：您这么说是什么含义？ Kap：那是一场关于赋值理论的讲演，这是他当时的研讨范畴，也成了我最初的研讨范畴。这场讲演明晰、文雅，给我留下了深化的印象。很明显，他在这一范畴绝对是数一数二的，我不知道自己能否会有更多停顿。我早前说过我喜欢用代数的方式来看待事物。此外，当代数措施能应用在无限对象上时，更是让我入迷。或许与有限事物相比，处置无限对象愈加艰难和奇妙。当然，我也喜欢地道有限的事物，但我更喜欢无限的事物。这正是他研讨的代数，精巧、文雅而诱人的无限代数。从此以后，我不时对赋值环十分入迷，并且我不时徘徊在该范畴。 MP：当时您能否知道在哈佛大学将会在他的指导下工作？ Kap：这是一种可能。我一到哈佛大学就和他取得了联络，并开端和他一同工作。我是他的第一个博士生。但让我先来谈谈我在担任芝加哥大学数学系系主任时，他传授给我的一则非数学的智语。他说：“随时都要表示得就像你必须在第二天向参议院调查委员会解释你的行动一样。” MP：往常有很多人也会从同样的倡议中获益！ Kap：所以对我来说，我的人生道路是我用最少的努力铺设的，1941年我取得了博士学位。美国正在慢慢走出经济大萧条，固然没有1935年那么糟糕，但在我看来，要想找到一份工作恐怕是个奇迹。自二战以来发作了这么大的变更！即便是在20世纪70年代和80年代初那些更艰难的日子里，状况也没有那么糟糕。我四处申请工作，特别是我申请留在哈佛大学担任本杰明佩尔斯讲师（Benjamin Peirce Instructor）一职。或许我应该感到失望，但当我被录用留在哈佛大学时，我还是十分乐意的。 MP：您为什么以为应该感到失望？ Kap：总的来说，我以为一个年轻的博士应该去其他中央——认识些新面孔、取得些新想法。当然，我很快乐能够继续留在哈佛。
桑德斯麦克莱恩，摄于1951年 芝加哥时期的奇迹 MP：那时的您正处于一个十分多产的时期吗？ Kap：我不想回答这样的问题，应该让我的数学工作自身来表明——让其他人来审视我的数学成果。 MP：好吧，但那时您的觉得很好。 Kap：接着是1944年，二战仍在继续，桑德斯去了哥伦比亚大学应用数学小组3，他引荐我参与这个小组。所以这一年我把大部分时间都花在了常微分方程上。我体验到了理想生活的滋味，并发现数学实践上能够用来做一些事情。 MP：当二战终了时，您对所做的应用数学方面的工作感到快乐吗？ Kap：不，但我也喜欢它。我想我本能够成为一名工业界里的数学家，具有着某种水平的幸福，或许也很胜利。 MP：我很难想象。 Kap：在那里，也会面对一些数学上的应战，固然难度普通。无论如何，在二战终了时，应用数学小组开端解散。我的未来充溢了不肯定，但后来奇迹发作了。芝加哥大学给我提供了一个讲师的职位。 MP：当时桑德斯曾经在那里了吗？ Kap：还没。接下来在芝加哥大学发作了下面这些事情。1946年马歇尔斯通（Marshall Harvey Stone, 1903-1989）被引进到芝加哥大学重建数学系。我和约翰凯利（JohnL. Kelley, 1916-1999）是“斯通时期”4开端前最后引进的两个人。“斯通时期”是芝加哥大学里一个老笑话了。凯利很快分开了，而我却高兴地在芝加哥大学待了39年。斯通做了四项严重的任命（不包含斯通自己），这对芝加哥大学数学系产生了庞大的影响。这四个人是：桑德斯麦克莱恩、安东尼齐格蒙德（Antoni Zygmund, 1900-1992）、安德烈韦依（André Weil, 1906-1998）和陈省身（1911-2004）。很棒吧！ MP：太棒了！ Kap：而且他还带来了一批顶尖的年轻人。这个故事在保罗哈尔莫斯（Paul Halmos, 1916-2006）的《我要作数学家》（I Want to Be a Mathematician: An Automathography in Three Parts）一书中讲得很好。我和桑德斯又相遇了，这太不可思议了。我在芝加哥大学圆满地完成了幻想，这就是我想要的一切。四十一年后的今天，我在美国国度数学科学研讨所。关于来到这里的年轻人来说，我以为固然美国国度数学科学研讨所在很多方面有所不同，但它具有和芝加哥大学同样的肉体。我的确希望如此。 MP：当然，很多来这里的人都遭到了极大的鼓舞。
卡普兰斯基1938年毕业于多伦多大学 Kap：顺便说一句，我想提一下芝加哥大学的学期制对我很有辅佐。它的一学年里的四个学期准绳上是对等的，例如你能够在暑期授课，而在年中休息一学期。我每年都这么做，主要有两个缘由。在年中，我能够去数学研讨繁荣的其他中央，夏天我则能够留在芝加哥大学。不同于其他大多数中央，由于这种学期制的缘由，芝加哥大学的暑期十分生动。固然芝加哥的夏季气候并不是最好的，但我还是喜皇蹦天在芝加哥教书，由于我洗砦筅密歇根湖里游泳。 MP：那会儿游泳不冷吗？ Kap：到了仲夏时节，天气刚好适合，我引荐在这个时分去游泳。 MP：每次您游多长时间？ Kap：几个小时吧。我会在早晨上课下午游泳，我会游完密歇根湖在那里的一段湖岸线。 MP：您往常还游泳吗？ Kap：是的。今天我们访谈终了后，我就去泳池游泳。游泳是我的另一项喜好。
左起：1968年斯通、陈省身、尼伦伯格在一同 安德烈韦依(André Weil, 1906-1998) MP：往常让我们把话题转回芝加哥大学。 Kap：我想，这段时期的故事能写成一本我的数学自传。我做了什么工作？为什么要做？我不知道我到底想说什么。能够让其他人来谈谈。但让我要向我的五十三名博士生致敬。我想起了亚历克斯罗森堡（Alex Rosenberg, 1926-2007），唐纳德奥恩斯坦（Donald Ornstein, 1934-），哈罗德韦登（Harold Widom, 1932-），海曼巴斯（Hyman Bass, 1932-），斯蒂芬蔡斯（Stephen Chase, 1932-），斯蒂芬玛卡丹（Stephen McAdam），爱德华埃文斯（Edward Evans），朱迪丝莎莉（Judith Sally, 1937-）等人。固然不是我的学生但对我的辅佐也是不可估量的有：理查德卡迪森（Richard (Dick) Kadison, 1925-2018），艾沙道尔辛格（Isadore Singer, 1924-），约翰汤普森（John Thompson, 1932-），保罗科恩（Paul Cohen, 1934-2007）等很多很多人。一个好的学生会教会你很多，我从我的学生身上学到了很多东西！ MP：您喜欢教书吗？ Kap：当然，我岂但喜欢我的博士生，而且我也很享用课堂氛围。 MP：是什么让课堂教学变得有趣？ Kap：一方面，我喜欢组织我的想法并试图以一种明晰、适用而有趣的方式呈现它们所带来的应战；另一方面，我喜欢看到学生偶尔呈现的面带喜色，有时以至让他们兴奋起来去亲身做一些数学实验——即便在微积分课堂上，也能够在有限的范围内中止。 MP：让我们暂时回到“斯通时期”。
卡普兰斯基、Don Albers和陈省身在美国国度数学科学研讨所 Kap：那时，我们在芝加哥大学，侥幸的是韦依也在，他是世界上最优秀的数学家之一。在我的终身中，好几次都有这种觉得：天哪，这是一位巨大的数学家；好比，安德烈韦依、冯诺依曼、让-皮埃尔塞尔（Jean-PierreSerre, 1926-）、约翰米尔诺（John Milnor, 1931-）、迈克尔阿蒂亚（1929-2019）。当然，这些都是响当当的名字。但毫无疑问最重要的是韦依，我们做了近十年的同事。我以至能够精确地指出假如没有他，我不会做的那些数学。这并不是说他通知我怎样做之类的，而是经过一句随意的评论，就会让我开端做某件事。他对自己以为不能胜任的事情很不耐烦，我想他不会介意我这么说的。他还有特殊的矫捷，你可能知道这一点。你能够选择一个他可能以前从未听说过的数学范畴，冷不防地，他就会发表一些关于这方面的见地。塞尔、米尔诺和阿蒂亚也有很多相似的状况，但我以为他们更多的是在传播深化的了解——这个范畴到底停顿如何。他们在正确的时间精确地说出正确的事情，所以听他们讲话是十分值得的。某些范畴的其他专家通常对本学科的中心秘而不宣，或许有时分是由于他们并没有真正了解本学科。
安德烈韦依 MP：这正是我想问的。您以为您所说的这种天赋在很大水平上与对某学科的完整了解有关吗？ Kap：这是一个实质问题。当一位巨大的数学家控制了一门自己称心的学科并且在讲述它时，这种了解是精确无误的，所以你有绝佳的机遇快速了解该学科的关键想法。 MP：有没有您读过其著作，但可能从未谋面的数学家——或许在您读他们的著作时，他们早已不在人世，即便他们的数学工作曾经不再激动人心，但他们仍对您产生了庞大的影响？ Kap：我马上就会讲到这一点，但首先我要向芝加哥大学的年轻同事欧文西格尔（Irving Segal, 1918-1998）、保罗哈尔莫斯（Paul Halmos, 1916-2006）和埃德温斯潘尼尔(Edwin Spanier, 1921-1996)致敬。我和这几位同事都中止过一次又一次精彩而又激动的数学交流。我要特别提到西格尔，那时，他对C*-代数、部分紧群的表示论及相关主题的研讨十分高产。随后，他积极地转向研讨这些对象与物理学之间的关系。我跟随着他的足迹，最初我像个学生，过了一段时间我有种觉得，觉得自己能够和他对等地交流，但一开端他遥遥抢先于我。至于哈尔莫斯和斯潘尼尔，我一开端就觉得我们是同事——对等的同事。我置信他们也有同感，我希望他们不会介意我这么说。我们经常交流许多有趣的想法。
阿蒂亚（左）和辛格2009年摄于爱丁堡；两人于2004年共获阿贝尔奖 解释的盼望 Kap：往常，回到你说的阅读经典著作的问题。每次我回头去读一些经典著作，都会发现十分费劲，但我以为这是一件好事。在我真正开端阅读高斯的著作前，年龄曾经很大了（你能否发现高斯的《算术研讨》大约是十年前5才有英文版的？）。有一次在作讲演时，我记得我说过高斯的前辈们——欧拉、拉格朗日、勒让德都是十分聪明的数学家，假如他们有机遇去一所好的研讨生院，他们肯定会付诸最大的热情和肉体。但高斯就不同了，他自己就是一所优秀的“研讨生院”。我记得韦依在某处曾说过：“我们依旧依托高斯的数学遗产生活。”或许这有点夸大，但很大水平上也的确是事实，高斯开创了我们今天所知的数学。 有一件事我不时很喜欢，那就是时不时就回头看看由罗伯特弗里克（Robert Fricke, 1861-1930）、艾米诺特（Emmy Noether, 1882-1935）和厄于斯泰因奥尔（ystein Ore, 1899-1968）编辑的理查德戴德金（Richard Dedekind, 1831-1916）文集6。这三位编者在大部分论文之后都发表了富有洞察力的评论。戴德金的论文自身就十分出色，此外还有那些精彩的评论！艾米诺特应该说过：“Es steht alles schon bei Dedekind”（在戴德金那里曾经全有了）。 MP：据我所知，您也重温过大卫希尔伯特的著作，并努力于写一本书，专门讨论1900年在巴黎召开的第二届国际数学家大会上他向数学家们提出的二十三个问题。 Kap：有一次，我正翻阅理查德贝尔曼（Richard Bellman, 1920-1984）的经典数学著作，其中一本是希尔伯特在1900年的演讲，我认识到在此之前，我历来没有真正看过希尔伯特的原文，我感到既羞愧又诧异。接下来当我阅读时，我认识到在几个中央，我不太明白希尔伯特的企图所在，并且在大多数中央，我也不太肯定后来有什么停顿。那时，还没有出版过一本自1900年以来在处置这些问题方面所取得的停顿的书。我白日做梦，觉得针对每个问题都应该有一篇读者希冀阅读的专稿，真正讲述为什么希尔伯特对这个问题感兴味，其背景是什么，每个问题又是如何与数学融合的，当然还有在他演讲之后这些问题的停顿。我有了一种想写文章解释的盼望，于是我开端做这件事。 MP：这个项目目前停顿如何？ Kap：做了一部分之后就放置了。固然事实上我曾经在芝加哥工作时的一部分笔记中写出了23个问题中的12个，但我可能永远也写不完。我想，让一个人把一切问题的来龙去脉都写出来是不可思议的。正常的做法是找23个人，每个人都是其中某一个问题的专家。俄罗斯人就是这样做的，美国数学会也是这样做的。自从我开端这个项目以来，他们都出版了关于希尔伯特问题的现状的好书，固然坦率地说，这两本书都有不谐和之处，一定有很多作者一同写。所以我顽固地坚持着，我以为只让一位作者来写可能具有一些优势：一种更统一的作风，由于只需一位作者，因而还能够用草蛇灰线的写法在不同的问题之间暗含线索。此外，专家可能会忙于讲述他昨晚证明了什么，致使于他无法用聪明的研讨生能了解的言语阐明问题到底是怎样回事。 MP：我喜欢您的这种说法：“解释的盼望。” Kap：一些相似于这件和希尔伯特问题有关的事情也发作在与菲尔兹奖章取得者有关的事情上。我和赫斯坦（Yitz Herstein, 1923-1988）聊过，我说，“当我们八卦某个家伙做了什么，说他做了很好的工作时，其实我们不知道自己到底在说什么，这是很可耻的。好比说，我们的楷模——菲尔兹奖取得者们，他们究竟做出了什么？”于是我们开端讨论这个问题，在一些时分我们的确知道他们的工作，但在其他时分我们压根不知道。所以我们说，即便我们不能证明他们发现的定理，我们至少看看能否精确地表述它们。我从杰西道格拉斯（Jesse Douglas, 1897-1965）开端察看，他是1936年第一届菲尔兹奖的两名获奖者之一，我的确控制了他的工作，我能够用研讨生能读懂的粗浅的数学言语写出他证明的主要定理。
芝加哥大学数学系部分教员1972年合影， 2排右1 ：卡普兰斯基，1排右2 ：桑德斯 麦克莱恩，右3 ：安东尼 齐格蒙德 羞愧啊！ Kap：这一切都与搅扰数学工作者的一件事有关：我们很难对数学之外的世界解释数学家到底在做什么。并且十分十分羞愧的是，即便在数学界内部，我们彼此也无法彻底地中止无障碍交谈。 MP：您有什么处置措施? Kap：愈加努力地研讨它。大伙都说我们需求更好的阐明文，但是并没有发作多大改动，不是吗？ 我们不应该对各种事物博览群书后就轻言放弃。试着更努力地去了解，当你了解之后，花点时间解释给他人听。 MP：人们常常找借口说，往常的数学范畴这么大，即便是同一学科的不同分支范畴之间的人们也很难相互了解。 Kap：我并不同意这种观念。这让我想起了人们在重复一项工作以至是重新发现一些众所周知的东西时所做的辩护。这是可耻的，我为此还谴责过他人。固然数学文献越来越多，但在任何一个成熟的范畴，只需花几个下午的时间阅读一下《数学评论》（Math. Reviews），你就能找到百分之九十的文献。假如你不这么做，那么你会糜费几个月的时间。当然，事情也有另一面。有时分，从头开端思索，你能够想出一些新颖而有趣的东西。但是，在某些时分你应该去参考一下文献。那句话怎样说来着？数学之所以展开到了今天，是由于站在了前人的肩膀上。 MP：让我们来谈谈您自己的研讨作风。您是怎样做数学的? Kap：让我回到我偶尔给学生们提出的有好有坏的倡议。第一条倡议是思索第一种状况，即你没有完整了解的最简单的状况。希望你们慢慢来，就会在一段时间之后得到普通定理。第二条倡议：算例子，算成百上千个例子。我以为在有些可耻的案例中，人们之所以做出（我以至要说）愚笨和胡乱的猜测，只是由于他们不愿省心去关注最初的几个例子。一个精心选择的例子能够教会你很多。 MP：“精心选择”是一个内涵丰厚的词语。 Kap：好吧，我们不如说是“侥幸”的例子。有时分当你研讨一个例子时，你会忽然领悟一种洞察力，但假如你只是用你想证明的定理里的假定条件笼统地推导的话，你可能不会有这样的洞察力。我想这两条倡议都是常见的，但是它们经常被疏忽而不是被注重。 第三条倡议：假如问题值得研讨，请好好试一下。在你向全世界宣布“我曾经竭尽所能，我放弃继续研讨”之前，可能要花上几个月，假如有必要的话以至也可能是好几年。在你还没有竭尽所能去尝试之前就放弃，是很丢人的。 MP：这是个相当严厉的倡议。 Kap：哦，还有第四条倡议，在取得终身教职之前的几年里特别难以恪守。高斯的倡议是：少发表，但要做得好。但我自己没有采用这条倡议。夸大地讲，假如你的问题比较显而易见，那么很有可能地球上的某个人在未来五年内也会做这件事，所以不要省心去发表它——把你的留意力转移到其他问题上。尝试一些他人至少20年都不可能做的问题。这是一个崇高的理想，但必须牢记在心。当你在《美国数学会通告》（Noticesof AMS）杂志中看到一篇摘要，发现他人曾经证明这个定理时，不要觉得难过。当然，你不用搞分明里面的细节。其他人对此也有兴味。这是件好事，由于它避免了由于发表一篇几年内无人关注的论文而感到的失望。
卡普兰斯基（右一）和芝加哥大学的同事在一同，摄于1961年 MP：我还想讨教另一个问题。 Kap：但是首先我们应该提一下我和物理学的联络。赫斯坦和芝加哥大学的物理学家彼得弗罗因德（Peter Freund, 1936-2018）在其中发挥了作用。据我所知，他们经常在午间打台球，有一天彼得俯身击球时说：“你知道吗，有一种扭曲的李代数让物理学家兴奋不已，数学家应该关注一下。”他们打完台球就来找我，我认真听了彼得的话，感到十分兴奋。从那以后，我就接触到了超对称，也就是物理学家所说的李超代数。在1981年我受邀去了阿斯彭7物理中心（Aspen Physics Center），我是60名物理学家中独一的数学家——意味性的数学家。我想我给大家留下了很好的印象。我盼望与他们交谈，我认真地倾听。有时没什么用，但有时我也能说点什么。主要是我试着了解他们的言语，这是很难翻译成数学的。 我置信直到往常，李超代数这门学科还没有应用到物理学上。没有实验考证，也没有任何迹象表明它具有任何意义。但是，许多物理学家依旧置信，这很可能是他们翻开大统一理论这扇门的一把钥匙，它将用一种单独的数学理论统一一切四种相互作用力8。与此同时，其中还有很多诱人的数学问题，无论是好还是不好，都能够去研讨。希望其中的有些东西恰是某些人需求的。 今年夏天我还要去阿斯彭物理中心。由于阿斯彭的夏天还有一个音乐节，所以由于这两个缘由我等候着去那里。刚才我谈论物理而打断你时，你有什么问题呢？
1984年，在MSRI破土开工仪式上， 左起：辛格、陈省身、加尔文 摩尔、阿尔文 泰勒、卡普兰斯基、迈克尔 海曼（时任伯克利加州大学校长） 美国国度数学科学研讨所（MSRI）：真情同伴 MP：在您为《数学信使》（Mathematical Intelligencer）杂志撰写的关于美国国度数学科学研讨所成立的文章中，你回想了美国国度科学基金会(NSF)在各个范畴召开的科学家会议，该会议是在数学研讨所成立25年前召开的。您写道，以下问题是由某个未透漏身份的NSF人士提出的：“在你所在的学科中，有什么东西能带来庞大的成就？”当（盘绕圆桌）轮到您发言时，您说要树立两个新的数学研讨机构。往常要取得庞大突破——需求做很多工作。 Kap：他是个物理学家，物理学家喜欢这种说法。 MP：当然，在伯克利和明尼阿波利斯的两个新的数学科学研讨所建成之后，我们取得了很多成就。但是我想知道你们能否能给出一个时间计划来完成这种庞大突破。 Kap：到往常五年过去了。你是在问我，我们能否曾经得到了严重的突破，或者至少希望在不久的未来能取得决议性的停顿？ MP：是的。
伯克利数学研讨所正门 Kap：为了回答你的这个问题，我将援用其他人的观念。我置信人们普遍以为美国国度数学科学研讨所曾经完成了人们对它所等候的一切，或答应能还要多一点。5年时间太短了，我们无法判别能否曾经取得了严重成果，或者能否在不久的未来能取得。在我看来，这种展开需求很长一段时间才干比较分明地看出其影响。相比之下，我想起了1932年普林斯顿高等研讨院（IAS）刚成立的时分。好比说至少需求15年，或许20年更合适，人们才干明白地认识到它对美国数学的展开是十分重要的。请10年后再问我这个问题。 MP：关于研讨所的另一个问题：三年前您是如何做出决议，从芝加哥的一种生活转变到伯克利的另一种截然不同的生活的? Kap：我在芝加哥大学当了五年系主任，所以我对管理并不陌生。美国国度数学科学研讨所的管理职位与芝加哥大学系主任的职位有些共同之处，但也有很大的不同。首先，这里与明尼苏达大学(University of Minnesota)下属的明尼阿波利斯学院(Minneapolis Institute)相比，我们完整是独立的，一切都需求我们自己做。我们需求留意新税法做出的重要调整，我们也对新移民法所触及到的文书工作感到头痛。固然我自己没有亲身做这些事情——我们有一个十分能干的业务经理——但我也参与其中，知道需求做什么，并努力确保做对。但是，我的主要工作还是布置年度计划，同时与源源不时的访问学者一同工作。每年的访问学者大约有180人，固然不是一切人都待整年。我把这比作每年招聘180名新教员，每名教员的状况都略有不同。这要生成一个新档案，它有可能相当大，还需求写无数的信件，打大量的电话。所以这可能有点费力，但另一方面，我经常有一种觉得，觉得自己正在完成一些有价值的事情，这是一种在当系主任时经常没有的觉得。
1997年，伯利坎普（左1）、佐武一郎（左2）在MSRI庆祝卡普兰斯基（左3）80岁寿诞 MP：您能细致阐明一下那种成就感吗？ Kap：一个例子是我们决议制定一个庞大的与数论有关的项目，当然，这不是我个人的决议。当时我还不是担任人，固然我作为新当选而未就职的担任人参与了这个决议。我们必须提早几年决议这个项目，然后设法确保适合的人能来。那一年有两件十分优秀的成果问世。我有一种直接参与其中的觉得，在每个阶段都能有所辅佐。你明白了吗？作系主任可能也有相似的觉得，但不大像。一段时间内整个部门变得如此稳定，致使于有时一个任期较短的所长都无法干扰它。 MP：当您说参与其中时，是什么意义？ Kap：在数论上我们不需求花一整年的时间，这个想法是与我们的学术委员会坐下来一同讨论的。当然，还有另一个委员会，项目委员会十分重要。我的工作是落实他们的想法。让某些特殊的人来参会是至关重要的，我一遍又一遍确保他们都能来。我试着更谦逊一点，用我不想说的胜利的规范来确保日常事务比较正常地运转，这样那些聪明的年轻人——特别是我会思索那些年轻人，其他人都比较成熟了——在这里会有一段有意义的阅历。 MP：有一个问题我不太肯定您能否曾经回答了，那就是您为什么要接受这份工作？ Kap：好的，我奔忙了20年，不顾一切地呼吁我们需求树立两个新的研讨机构，接着幻想成真了。让我至今仍感到困惑的缘由是，这里的人希望让我当所长，“拒绝”这份信任是不可能的。加尔文摩尔（Calvin Moore, 1936-）完成了一项了不起的工作，他让这个机构运转起来。我待在这里并且这里给我留下了很好的印象，这恰恰在适合的时间给了我适合的任命。好比说，这是终了我学术生活的一种好措施。总的来说，固然我不能做太多的数学研讨，但我还是很快乐做了这份工作。
左图. 《论文选编及其他著述》，卡普兰斯基1995年著（2013年版），论文“任何正交补完备模格都是连续几何” “满足多项式恒等式的环”就收录其中 右图. 《 无限阿贝尔群》，卡普兰斯基1954年著 MP：看起来，您似乎对最近这个关于交流代数的微程序的兴味不是一时的。 Kap：我曾经和加尔文摩尔开玩笑说，我们最好在这里做些代数研讨，否则人们会以为我名不符实。早些时分，我掌管了一个有关无限维李代数的课题，但是它有太浓厚的拓扑和剖析滋味，不能算作地道代数。你刚刚提到的微程序是我们第一个真正意义上的代数程序。 MP：最后一个问题。您在数学方面做的一切工作里，有没有一件或者您能够提几件事情，让您特别自豪的？ Kap：事实上我曾经以书面方式回答过这个问题。我不肯定在哪个中央写过，但我记得我曾经回答过一次。我最引以为豪的论文是“任何正交补完备模格都是连续几何”（Any Orthocomplemented Complete Modular Lattice is a Continuous Geometry），这并不是说它特别重要，但我还是为它感到自豪。这需求持续6个月的努力，这种努力我想我再也无法付出了。这篇论文是我在1955年完成的，也就是33年前，但是，部分缘由是没有人真正关怀它，我想即便是在1988年的今天，他人也不会写这篇文章的。我以为其中有意想不到的，而且是高级的无限代数，我不想用像首创性这样的词形容，我特别喜欢的就是像之前对话中提到的那种代数。 我以为可与这篇论文相提并论的、被援用次数最多且影响力最大的论文是“满足多项式恒等式的环”（Rings with a polynomial identity）。关于今天的研讨生来说，这只是个练习题，但它还是开辟了一个全新的范畴。我想，假如用引文索引来检测那篇论文，就会发现它被大量地援用——比我的其他任何论文都多。 我也喜欢我写的一些阐明文鼓舞了人们。正如一些学生很开心肠提到，许多人似乎经过我的“小红宝书”发现了无限阿贝尔群的美。固然和微分代数的基本思想没什么关系，但我写的关于这个主题的小册子可能曾经把人们的留意力吸收到了这一诱人的范畴。 MP：我记得它比小册子要丰厚。 Kap：它很短，只需六十多页。事实上，我写的东西都很短。我想是我的点子用光了，或者肉体耗尽了，亦或两者都没有了。 MP：还有什么问题是您想谈谈而我没提出的吗? Kap：我想没有了。我有时的确想过，天哪，我们还没有提到物理学。不提它可能会呈现10年的空白，但我的确记得提到了。我想我们的说话简直涵盖了一切，你也一定累了，你的其他采访和这次相似吗? MP：每个人都是不同的。我以为您比大多数人都事前想过要说什么。 Kap：是的。我事前想过我们会谈论多少音乐。然后你给了我一个机遇，我就变得忘乎所以了。 译者注：在翻阅这篇采访记载时，卡普兰斯基认识到他完整遗漏了担任美国数学会（AMS）主席的阅历，并请求增加以下段落： “当被引荐为美国数学会主席时，我的第一想法是我不配得到这个荣誉。毕竟，这个职位的担任者在长达两年的时间内会被视为美国数学界名义上的指导人。但假如他人以为我是适合的人选，我也不会推托。所以在1985年和1986年期间有很多的会议，在会议间隙还有很多工作。美国数学学会是个令人印象深化的组织。在普罗维登斯和安娜堡，有大批能干、勤奋的人，他们运营的企业是世界上范围最大的数学出版社。或许其他主席都留下了重要影响；但我没有。我能指出的一件自己做的事是推进了终身会员制的树立。” 注释 1译者注：指犹太教经师或神职人员。 2译者注：Simonize意为经过打蜡为汽车美容，而Simoniz是新梦奇公司的称号。英文中“Be wise, generalize”和“Be wise, Simonize”恰恰押韵。 3译者注：可参考1989年美国数学会出版的书籍《美国数学一百年（第三卷）》（A Century of Mathematics in America Vol. 3）中桑德斯麦克莱恩所写的《二战时期的哥伦比亚大学应用数学小组》（The Applied Mathematics Group at Columbia in World War II）一文。 4译者注：原文“Stone Age”是双关语，既指斯通任系主任的时期，同时还是考古学中的专用名词“石器时期”。 5译者注：高斯的《算术研讨》（Disquisitiones Arithmeticae）英文版在1966年由耶鲁大学出版社出版，1986年由斯普林格出版社重印。 6译者注：Gesammelte mathematische Werke共三卷。 7译者注：阿斯彭是美国科罗拉多州皮特金县下属的一座城市。 8译者注：即万有引力、电磁力、强相互作用力、弱相互作用力。
作者简介
Donald J. Albers，美国数学协会高级谋划编辑，著有Mathematical People 等书。 译者简介
杨中明，河北师范大学数学科学学院硕士研讨生，研讨方向为数学史。
张浩，中国科学院大学博士。 文章为原创内容，版权归【数学文化】一切 如需转载请联络：support@global-sci.org 往期引荐： ● 因果推断——现代统计的思想飞跃 ● 入门徐引路 功夫法自修——王元院士谈教数学 ● 千禧年大奖难题之始末未终 ● 新书引见：《冯康传》 ● 传奇数学家李天岩 关于数学文化 《数学文化》为季刊，目的是将数学展示给我们的世界，在文化层面上阐释数学的思想、措施、意义，涵盖数学人物，数学历史，数学教育，数学趣谈以及数学烟云等等，杂志的对象是对数学有兴味的读者。 - 数学文化 - ID: mathematicalculture http://www.global-sci.org/mc/ 复制此网址订购【数学文化】电子刊 https://global-sci.org/mc |
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