《雅典学院》中的数学文化

转自：哲学门

《雅典学院》中的数学文化

代钦

内蒙古师范大学科学技术史研讨院

１　前言

雅典是古希腊民主自由思想、科学肉体和哲学聪慧的摇篮．雅典的这一切奠定了近现代西方文化的基础．雅典吸收着学问人的浓厚兴味，以至人们把后来的一切优秀文化成果和雅典联络起来．正由于如此，意大利文艺复兴时期著名画家拉斐尔（１４８３－１５２０）把自己为教皇尤里乌斯二世（Ｐｏｐｅ　ＪｕｌｉｕｓⅡ，１５０３－１５１３）而作的宫廷作品命名为《雅典学院》（１５０９－１５１１）．《雅典学院》的完成不只是艺术创作的庞大胜利，也是西方科学的信心和肉体的充沛彰显．其中包含着丰厚多彩的科学文化，使我们情不自禁地去想象西方科学文化展开的丰厚内涵和基本线索．这里分离毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、欧几里得和苏格拉底五位贤者对《雅典学院》中的数学文化中止引见．

《雅典学院》那庄严的作风，人物冷静的动作与姿势，雄伟的建筑结构及其对称性，以及空间的深度，一切这些的分离使得这件作品成为文艺复兴全盛时期的一幅杰作，对艺术史、哲学史和科学史研讨具有重要的意义．在拉斐尔对主题的精彩描画之中，以及深沉笃定的笔调作风里，都包含着一种追求学问的古典理想（图１）．

图１　雅典学院

２．１　毕达哥拉斯的数学贡献

在数学方面，毕达哥拉斯作出了历史性贡献，播下了近现代数学的种子．他发现并证明的数学定理和公式有：

毕达哥拉斯定理：直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和．

三角形内角和定理：三角形内角和等于１８０°．

毕达哥拉斯学派发现了无理数而惹起了数学史上的第一次数学危机，毕达哥拉斯首先提出了“数学”这个术语，并开端西方数学学科的不同分支的分类思想．

２．２　毕达哥拉斯的“万物皆数”思想毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”的数学哲学思想．其要义是，万物的本原为数，宇宙万物之间具有统一的单位，能够相互之间公度．换言之，万物能够由整数或两个整数比来表示，后来将这个事实叫作有理数．即：任何一个有理数都能够写成分数

m/n（ｍ，ｎ都是整数，且n ≠ 0））的方式．亦即ｍ，ｎ 是是可公度的．但是后来呈现了两个不同线段长度之间不可公度现象，这就是所谓的无理数的降生．这与他们发现并给出证明的毕达哥拉斯定理的应用之间呈现了不可调和的基本矛盾，发现正方形的边长和对角线之间没有统一的度量单位，惹起了数学史上的“第一次危机”，这对后世的数学和哲学思想的展开起到了极端重要的作用．

无理数的产生，使得直线上的每一个点都有了对应的数，这样就能够描写连续的问题，也为函数概念、解析几何和微积分等学科的创建准备了客观条件．从这个意义上说，毕达哥拉斯定理是种子，“万物皆数”的哲学思想是阳光，雅典的自由思想环境是土壤，在阳光的映照下种子在土壤中生根发芽，孕育了近现代数学．

毕达哥拉斯学派以为“数是事物的方式因和质料因”“数独立存在于可感事物之中”．其中，“数独立存在于可感事物之中”的观念成为其门徒柏拉图和柏拉图的门徒亚里士多德严厉批判的对象．

２．３　“数学”术语的提出

任何一个学科中提出新的概念和名词术语会给学科带来新的内容和意义，数学学科也不例外．但是人们很少去想数学的每一个概念和名词术语在何时何地如何产生和展开的问题，都在商定俗成地运用．例如，在每天学数学和教授数学的人也不会关怀“数学”这个术语是怎样来的．笔者在大学课堂教学和数学教员培训中提出这个问题的时分，大家才关怀起来，皆有豁然开朗的样子．

毕达哥拉斯学派首先提出了“数学”一词，数学包含算术、音乐、几何学和天文学４个分支．故称“数学”为“四艺”．这一分类措施不时持续到文艺复兴时期．毕达哥拉斯学派对“数学”的４个分支分别中止了概念界定．即：算术，研讨绝对不连续的、具有多少的量；音乐，研讨相对不连续的量；几何学，研讨静止的、连续的、具有大小的量；天文学，研讨运动的、连续的量．后来艺术家为了留念毕达哥拉斯提出的数学“四艺”，创作了绘画作品（图４［３，４］），绘画中的四个人分别为音乐家在伴奏，算术家右手持计算工具用左手手指计算、几何学家在作图、天文学家手持天文仪器．这幅画出往常波爱修《算术》（Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ）９世纪的一个手抄本．［５］

图４　欧洲中世纪的“四艺”

毕达哥拉斯“数学”的四个分支的分类具有重要的历史意义．首先，算术和几何学的严厉分开，决议了后来数学展开的走向；其次，算术、几何和天文学的分类，也决议了后来西方天文学展开的独立性．这与中国古代的天文学不同，中国古代天文学与数学交杂在一同，所以叫做“天文历算”．毕达哥拉斯数学的“四艺”后来扩展为“七艺”———文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文和音乐，如图５［６］，格雷戈尔· 赖施《哲学珍宝》（１５０３）中的插图“七艺”中算术居中，即拿算板中止计算的学者处于代表七个学科代表的中心位置，这也阐明算术的学科位置．

图５　七艺

“四艺”扩展为“七艺”的过程中有个插曲．在古希腊，执政官加图（Ｃａｔｏ，公元前２３４－１４９）和瓦罗（Ｖａｒｒｏ，公元前１１６－２７）都反对希腊学术．瓦罗打算把“四艺”扩展为“九艺”即文法、逻辑学、修辞学、几何、算术、天文学、音乐、医药和建筑学．最后两种后来被卡西奥多拉斯（Ｃａｓｓｉｏｄｏｒｕｓ，公元４９０－５８５）删去了，于是就构成了“七艺”．［７］

中世纪教会学校开设的课程是七门文科课程，它们触及言语学科的三个方面，即语法、修辞和逻辑．高一级的课程有四个学科，它们是关于数的学科，这就是算术、几何、天文和音乐．

西方学者们继承“七艺”传统，并依据不同窗科展开特性，提出了“十八艺”，其中数学亦占领着特殊位置．文艺复兴之后的１７世纪数学有了飞跃性的展开．当时的数学家和科学家在过去的“四艺”“七艺”的基础上进一步开辟了数学的新范畴．德国数学家和工程师Ｊｏｈａｎｎｅｓ　Ｆａｕｌｈａｂｅｒ（１５８０－１６３５）将数学的１８个分支用拟人化的方式用艺术伎俩展示出来，我们将这十八个分支学科称为“十八艺”．Ｊｏｈａｎｎｅｓ　Ｆａｕｌｈａｂｅｒ把自己放置在艺术作品的中间，其周边用拟人化表示了音乐学、逻辑学、机械学、代数学、建筑学、天文学、几何学、算术学、三角学、丈量学、地形学、地质学、航海学等数学及应用数学的学科，如图６．在图中算术家怀抱数据表，几何学家举着一个圆规和常见的丈量工具，天文学家天文学者拿着崇高的球体，音乐学家怀抱鲁特琴，Ｆａｕｌｈａｂｅｒ也分辨了诸如对数、求积法、代数等分支．

图６　Ｊｏｈａｎｎｅｓ　Ｆａｕｌｈａｂｅｒ　的“十八艺”

２．４　毕达哥拉斯的神秘数论

“５”是第一个奇数，２＋３＝５，是“中心”数．包含一个雄性和一个雌性．

“６”是第一个圆满的数，是５和１相加的结果．１＋２＋３＝６，１×２×３＝６，２＋３＝５．即循环数．

“７”是在１到１０的数中，独一既不是任何数的因子，又不是任何数的乘积．

“８”是第一个立方数，是巨大的“４”，由于１＋３＋５＋７＝１６，被称为“恋情”．

“９”是３的平方数，是１０之前的最后一个数．

“１０”是最圆满的数，１＋２＋３＋４＝１０，如图４中小黑板所示．

３　数学崇高位置的奠定者——— 柏拉图

图７　《雅典学院》截图

《雅典学院》的正中间布置了柏拉图和亚里士多德，如图７，他们分别代表了理念哲学与自然哲学．柏拉图在左臂下夹着他的著作《蒂迈欧》，柏拉图以为，在物质世界之上存在着一个永世不变的理念世界，因而拉斐尔将他表示为右手手指指向天空．亚里士多德拿着他的著作《伦理学》，一只手指向空中．亚里士多德以为学问的取得必须经过对物质世界的阅历察看和体验．

图８　柏拉图在柏拉图

学园给学生教授几何学柏拉图（Ｐｌａｔｏｎ，公元前４２７－前３４７）是古希腊著名的哲学家和教育家．４０岁时成为毕达哥拉斯学派门徒．后来自己兴办了柏拉图学园，并免费收徒，成为当时研讨和传授哲学、数学和自然科学的中心，如图８［９］．

３．１　柏拉图的数学观

柏拉图给数学致以崇高的敬意，赋予数学崇高的位置．将数学作为权衡人能否有教养的重要规范．柏拉图曾经说过：“人和猪的区别在于人会计算．”他以为，数学是“把灵魂拖着分开变更世界进入真实世界的学问”［１０］，变更世界就是人们能够触摸、看到和嗅到的外部的细致世界，真实世界就是永世不变的理念世界．这就表明了数学在柏拉图心目中的位置，正由于这样，柏拉图在其学园匾额上写道：

“不懂几何，不得入内．”柏拉图从不同角度论述自己对数学重要价值的认识，如，他首先提出“理念”这个概念时强调：理念是数；理念数的生成准绳是，一和“不定的二”；理念数的真实性比数学数高一等级；理念数与数学数的区别是，在单位的可分离上，数学数的单位无例外地彼此能够相互分离；而理念数中不同数的单位是不能分离的，如“本２”的单位不能与“本３”的单位分离，其他的理念数也如此．柏拉图固然不是数学家，但是它对数学价值的认识对后世产生了极大影响．

质疑、争辩和批判是西方的学术传统，柏拉图应该是这一传统的开创者之一．他批判毕达哥拉斯学派的“数学对象独立存在于可感事物之中”的观念，提出了“数学对象分别地独立存在于可感事物之外”的观念，不外他的这个观念也被他的门徒亚里士多德无情地承认了．这些史实也被反映在西方艺术中，图９是一幅浮雕，柏拉图正在和自己的学生亚里士多德争辩．人们每天都看到建筑物上这幅浮雕作品，这或许会激起观看者的哲学思想灵感的忽然呈现．

图９　柏拉图和亚里士多德争辩

３．２　柏拉图正多面体的深化内涵

古希腊贤哲们察看和探求自然时发现了正多面体的存在并给出了正多面体只需五种的证明．柏拉图等哲学家将正多面体作为描画自然本原存在的基本几何方式．受此影响，开普勒亦将正多面体和球体分离的几何模型作为行星运动的宇宙模型．用正多面体描写自然和宇宙能否契合科学，我们在这里不做讨论．重要的是，人们已普遍认可正多面体的存在是崇高的．对哲学家、数学家、天文学家、艺术家和科学家来讲，它们的存在具有无限的魅力．我们在想象正多面体的时分，脑海里便浮现出毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里得、帕乔利、达·芬奇、笛卡儿、开普勒、伽罗瓦、埃舍尔等一长串巨大人物的名字．

自古以来，正多面体在学校数学教育中亦具有不可低估的价值．正多面体作为特殊的多面体是几何学从二维空间过渡到三维空间的重要内容，关于刚刚接触空间几何体的学生来讲，自然是一个适合的桥梁．它们不只辅佐学生更容易地从平面过渡到三维空间，还能够激起学生学习数学的兴味和探求数学奇妙的热情．这些都能够从它们的历史展开脉络以及各国教科书中的呈现得以表征．

人类最初经过矿物结晶的外形了解到了正四面体、正六面体、正八面体和近似的正十二面体，而人工制造的正十二面体，是在二千几百年前埃特利亚（意大利中部的古国）遗物中以青铜器的外形呈现．近几十年人们发现很多散射虫的结构呈现出正多面体的外形．而且有一种病毒的结构呈现出了正二十面体的外形，晶体硼（Ｂ１２）的结构单元也正是正二十面体．

关于三维空间内只需五种正多面体的历史能够追溯到古希腊时期．听说此时埃及人曾经知道了正四面体、正六面体和正八面体．毕达哥拉斯及其学派已研讨得出正多面体只需五种的结论，如图１０，即由全等的正三角形生成的正四面体、正八面体和正二十面体以及由全等的正方形生成的正六面体、由全等的正五边形生成的正十二面体．而由其他全等的正多边形是不能生成正多面体的．并且他们以为五种正多面体除正十二面体以外的四种分别构成宇宙的四要素，即火、土、气和水．而正十二面体能够以为是牵强的与宇宙相关联在一同．

图１０　柏拉图多面体

４．２　何谓数学

亚里士多德说：“数学是研讨笼统的量的科学．”这是在数学史上第一次言简意赅地回答了何谓数学的基本问题． 我们把这一观念沿用至今，并且把它作为中小学数学课程规范的指导思想来倡导，课程规范正文开头第一句话就是：“数学是研讨数量关系和空间方式的一门科学．”［１７］

５　公理体系的树立者——— 欧几里得

５．１　《雅典学院》中的几何教学和《几何学》中的几何教学

在古希腊的欧几里得之前，泰勒斯、毕达哥拉斯、德谟克里特、希波克拉底、欧多克索斯等数学家如绚烂的群星般呈现，为数学的展开作出了各自的重要贡献．虽则数学的阅历证明滥觞于泰勒斯，理论证明肇始于毕达哥拉斯，之后古希腊数学取得了丰盛成果，但是它依旧处于如黎明前的黑暗似的非系统状态之中．欧几里得公理系统的呈现彻底改动了这一状态，给数学带来了曙光．

图１１　《雅典学院》截图

欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ，约公元前３３０－约前２７５）是古希腊数学家．他在公元前３００年左右作为一名数学教员生动在埃及和亚历山大（如图１１，他正在教几何学）．他的巨大功劳在于写了传播两千多年的教科书《几何原本》．《几何原本》的重要性不在于它论证的细致定理，而在于欧几里得对前人证明的定理中止了整理，用亚里士多德的逻辑学措施，甄选出一套定义、公理和定理，循序渐进，提示它们之间的逻辑关系，树立了数学史上的第一个公理体系．《几何原本》是严谨的逻辑推理体系的杰作，对锻炼人的逻辑思想起到了重要作用，对历史上的巨大思想家和科学家产生了庞大影响．欧几里得的巨著《几何原本》为现代科学的崛起播下了种子，它为现代科学的阅历总结、实验论证提供了逻辑工具．《几何原本》或许决议了欧洲科学展开的走向．

图１２　《几何学》

正由于《几何原本》不可替代的历史作用和崇高位置，西方政治家、哲学家和艺术家等用不同的方式将欧几里得放在自己的理想生活或理想存在以及自己的作品中．如图１２［１８］，《几何学》是以欧几里得为代表绘制的文艺复兴时期的青铜雕塑作品．这是意大利艺术家安东尼奥兄弟俩为教皇西克斯图斯四世（Ｓｉｘｔｕｓ　ＩＶ，１４１４－１４８４，１４７１年当教皇）的墓室装饰而制造的雕塑作品的一部分．西克斯图斯四世的墓室被七德（七艺）浮雕环绕，墓室内的雕塑都与当时的“七艺”相关，其中数学占领着重要位置．安东尼奥在其弟弟小安东尼奥的辅佐下，花了９年时间（１４８４－１４９３）完成了墓室装修工作．

《几何学》应该是依据西克斯图斯生前的意愿，遵照其继任者的指示所创作的艺术品．西克斯图斯四世活着的时分在“七艺”的光环下统治国度，希望死去后仍能得到“七艺”的洗礼．这表明了当时的上层社会中崇尚科学、追求聪慧的时期潮流，即便是人死了，其灵魂依然存在并与数学和科学等树立割舍不时的联络，充沛展示出死者的高尚和理想的永世．

正如英国教育家和哲学家索尔兹伯里的约翰（Ｊｏｈｎ　ｏｆ　Ｓａｌｉｓｂｕｒｙ，约１１２０－１１８０）所说：“我们是站在伟人肩膀上的矮子．”［１９］ 拉斐尔的《雅典学院》也是从《几何学》得到启示而创作的．我们从《几何学》和《雅典学院》两幅作品中作几何图形的姿势和内容能够看出它们的相互联络．

６　聪慧的启迪者——— 苏格拉底

古希腊著名的哲学家和教育家苏格拉底在“勇气”“美德”和“学问”等哲学问题的讨论中，经过提问引导学生自己思索，自己得出结论——— 学问，由这个过程构成了“产婆术”．在运用“产婆术”的教学过程中苏格拉底强调心灵，请求自我反省，认识自己，依据自我认识去做事．苏格拉底在关于美德的讨论中经过用“产婆术”教授几何学问，论述了何谓美德．他所运用的“产婆术”的另一个方式“错误问题”教学法使人惊诧不已，开启了人们的聪慧．苏格拉底这两则几何教学案例圆满地展示了他的数学教学聪慧．

６．１　苏格拉底的数学观

苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４６９－前３９９），出生于雅典．他的父亲索夫尼斯库（Ｓｏｐｈｒｏｎｉｑｕｅ）是雕琢匠，母亲菲娜雷特（Ｐｈｅｎａｒｅｔｅ）是助产士．他从事哲学的方式就是与他人对话．他没有留下著述，我们经过他的学生柏拉图和色诺芬的著作了解他的思想．苏格拉底的主要哲学观念有：认识你自己；有聪慧的人知道自己的无知；他说他自己一无所知，独一知道的就是自己的无知；未经审视的人生没有价值；德行即学问，学问即德行．在《雅典学院》里苏格拉底正在演讲，如图１３［２０］．

图１３　苏格拉底在演讲

苏格拉底的佯作无知伤害到了很多自以为有聪慧的人，他俭朴的生活方式暗示着对那些以合理或分歧理方式获取金钱和纵情享用为主要目的的人的承认．这样苏格拉底为自己树立了很多敌人，为此他付出了繁重的代价．公元前３９９年，苏格拉底最后被判处死刑．苏格拉底的罪名为“苏格拉底犯有拒绝接受国度所公认的诸神并引进异邦之神的罪行；还犯有腐蚀青年人的罪行．”固然苏格拉底曾取得逃亡的机遇，但他仍选择饮下毒酒而死，由于他以为“不公正是不能用不公正的措施来纠正的”［２１］．

苏格拉底不是科学家和数学家，但是十分注重

图１４　苏格拉底发现

人类文化进步的迹象数学，“控制了他那个时期的数学理论”［２２］．１７世纪的一本书中曾记载了这样一个故事［２３］：“一次，苏格拉底在罗兹岛的海滩上留意到一些相似几何学的图案时对他的同伴说：‘我们能够抱着最好的希望，由于我看到了人类文化的迹象．’”如图１４．该故事阐明，苏格拉底把数学和人类文化的展开联络起来，以为数学预示着人类文化的进步，阐明了数学的重要性．另外，苏格拉底主张“政治家所需求的教育也包含‘科学’学问——— 算术、天文学、几何学以及音乐．”［２４］ 这对柏拉图的影响是极端深化的，柏拉图在《国度篇》（《理想国》）中明白提出：“作为管理者，他除了应受音乐、体育等教育外，他还应当破费十年时间研讨算术、几何、平面几何和天文学．”［２４］１２８

苏格拉底的明晰的定义和分类思想，对数学展开产生了重要影响．他倡导：“假如我们中止恰当的讨论，我们就必须剖析我们的命题，定义我们运用的术语，并且分明地知道我们在谈论什么．”［２１］３２４ 例如，从柏拉图的《斐利布斯篇》中得知［２４］１６２，苏格拉底首先分辨了消费学问与教育学问．算术、丈量以及称重属于地道的消费技艺的要素，余下的是推测性学问．必须分辨实物计算和只触及数目的地道的算术．这里我们留意到分辨“实物计算”和“数目的地道的算术”，这是极为重要的分辨．例如，古希腊人能够把一个东西平分为两个相等部分，但他们绝不会说二分之一的东西，而说成一半的东西．由于“二分之一”是地道数目，而不是实物，古希腊人以为“一”是一个不可分的单位，既然是一个单位，那就是不可能分割的整体．毕达哥拉斯以为［８］：“１”是最基本的，是一切数学的开端，计量一切数的单位，万物的第一准绳．因而，古希腊没有分数的概念，那么有人会问“如何解释二分之一？”他们用“二”与“一”的比例来阐明．这种观念最晚也从毕达哥拉斯开端，后因由苏格拉底、柏拉图和亚里士多德继承与发扬．苏格拉底对这种术语的定义和命题的分类思想，柏拉图以为，定义和分类到一定水平后不能再中止，他说：“那些研讨几何与算术一类学问的人首先假定奇数和偶数，有各种图形，有三种角以及其他与各个学问部门关联的东西．他们把这些东西当作已知的，当作绝对的假定，不想对他们自己或其他人进一步解释这些事物，而是把他们当作不证明、人人都明白的．从这些假定动身，他们经过首尾一向的推理，最后抵达所想要的结论．”［２５］另一方面，苏格拉底的定义和分类的思想对亚里士多德的逻辑学和科学思想产生了深化影响．

苏格拉底的定义与分类的思想不是孤立存在的，而是和他的“产婆术”教学思想、辩证法思想以及理性狐疑论紧密分离在一同，其中也看到他的认识自己、内省和深思之指导性思想在起作用．

６．２　苏格拉底的数学启示式教学

苏格拉底固然不是数学家，但是他用数学来阐明自己的“产婆术”，开启人们的聪慧．赏析柏拉图对话集中苏格拉底关于数学的一些论述时，我们为苏格拉底的数学聪慧所服气．

“产婆术”是苏格拉底用于引导学生自己思索、自己得出结论的措施．苏格拉底的母亲是助产士，他以助产术来形象比方自己的教学措施，同时以留念他母亲．这种措施分四部分：讥讽（追问）、助产术、归结和下定义．所谓“讥讽”，即在说话中让对方谈出自己对某一问题的见地，然后揭露对方说话中的言行一致之处，使对方招认自己对这一问题实践一无所知．所谓“助产术”，即用说话法辅佐对方回想学问，就像助产士辅佐产妇产出婴儿一样．“归结”是经过问答使对方的认识能逐步扫除事物个别的特殊的东西，提示事物实质的普遍的东西，从而得出事物的“定义”．这是一个从现象、个别到普通、普通的过程．苏格拉底在《美诺篇》中几何学的问题处置过程充沛展示了“产婆术”的作用．

在柏拉图的《美诺篇》中“把一个正方形面积加倍”的著名段落里，苏格拉底把“回想学问”的必定性提示得淋漓尽致．

苏格拉底以为，人的灵魂是不朽的，阅历着无量无尽的生死轮回．在这个无量无尽的轮回过程中，人的灵魂认识了世界的全部事物．所以与其说学问是取得某些新的认识，倒不如说学问是关于已知的、后来又被忘却的事物的回想．（注：这种学问回想说的思想对笛卡儿和莱布尼兹的哲学思想产生了重要影响．）这一见解令美诺惊诧不已，于是他讯问苏格拉底能否证明这一点．苏格拉底并未对这个理论提出

图１５　苏格拉底教授几何

直接的论证，不外他经过向美诺的一个奴隶孩子提出一些问题，而使这个从未受过数学锻炼的孩子证明出几何题，从而证明了这个观念（图１５［２６］）．几何证明教学的大致过程如下［２７］：

这个证明自身是极为简单的，但却并非了如指掌．所要证明的问题是肯定一个面积为已知正方形面积两倍的正方形的边长．苏格拉底画了一个正方形，这个正方形边长为２尺，其面积等于４平方尺．随后苏格拉底又在孩子面前画出这个正方形的对角线．于是他讯问这个孩子，其面积两倍于这个正方形的正方形边长是多少？从图上能够看出这个正方形的面积应是８平方尺．一开端孩子说所求正方形的边长应是４尺，但经过提问和演示图形，他认识到这个回答招致正方形的面积是１６平方尺而不是８平方尺．以后他又推测所求正方形的边长应为３尺，但他随即认识到这样画出的正方形面积是９平方尺，所以这个答案也不能成立．最后孩子以已知正方形的对角线为边长画出正方形，从而处置了这个问题，得到了一个其面积两倍于已知正方形的正方形．苏格拉底没有给予孩子以答案，仅仅凭着提出一系列问题便把答案诱导出来．

关于这个故事，有的典籍中说“正方形面积加倍问题”是柏拉图首先发现的，如古罗马的维特鲁威《建筑十书》第九书中说：我将举出柏拉图众多及其适用的发现之一，正如他所说的“有一块正方形的基址或地步，各边长度相等，假如要使它的面积成为原来的两倍，就需求一种数字，这种数字经过计算是求不出的，只需画出一系列精准的线条才干求出．”［２８］

这是目前我们所知道的最早数学教学的完好案例，往常也能够当做一个典型教学案例来学习．

苏格拉底的这种用“产婆术”指导措施求出新正方形边长的措施，除了对普通教学法有重要启示以外，对数学教学也有重要的自创作用．例如，我们把问题倒过来说就是：用两个相同的正方形结构一个新正方形．我们将问题变更为：能否用两个不同正方形结构一个正方形？答案是肯定的，由勾股定理直接能够引证：

即两个正方形面积之和等于第三个正方形的面积．能够用古希腊数学家欧几里得的证明措施或中国古代数学家刘徽的证明措施直观地表白出来，也能够用折纸几何措施（或实验几何措施）中止制造．假如把两个不同正方形当做普通情形的话，那么前面的问题就是其特殊情形．我们进而能够提出：能否用ｎ 个相同（不相同亦可）的正方形结构一个正方形？答案也是肯定的，能够用数学归结措施来阐明．

６．３　从数学错误中认识自己

我们的数学教学普通采用从已知的事实和条件动身，经过各种操作、变式、开放等途径抵达某种结果，很少采用从错误性问题动身抵达正确结论的教学措施．两千多年前，苏格拉底就采用经过错误性问题培育学生辩证思想和数学才干的教学措施．

下面我们再观赏他是如何教授数学的：

有一天苏格拉底与一位几何学家谈论“全体大于部分”这个几何学公理，他设计了这样一个题目，使赂何学家大吃一惊［２９］：

如图１６，自线段ＡＢ 的两端作等长的线段ＡＣ 和ＢＤ，使∠ＡＢＤ 为直角，∠ＢＡＣ 为钝角．连结ＣＤ 并作线段ＡＢ，ＣＤ 的中垂线ＯＭ，ＯＮ，相交于Ｏ 点，则ＡＯ＝ＢＯ，ＣＯ＝ＤＯ（中垂线上任一点和两端点等距离）．又ＡＣ＝ＢＤ，所以△ＡＯＣ ≌ △ＢＯＤ（ＳＳＳ），故∠ＯＡＣ ＝ ∠ＯＢＤ（对应角）．又由于∠ＯＡＢ ＝∠ＯＢＡ（等腰三角形底角相等），所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＤ，即钝角等于直角．

假如交点Ｏ 在线段ＡＢ 之下（图１７），同样可证得∠ＯＡＣ ＝ ∠ＯＢＤ，两边分别减去∠ＯＡＢ 及∠ＯＢＡ，结果还是∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＤ．

假如交点落在线段ＡＢ 上，则情形更为简单，无需另证．

总之，钝角等于直角．我们把这个问题叫做苏格拉底的错误问题．

问题出在什么中央？苏格拉底中止到这里后并没有指出呈现错误的缘由，而把问题留给了对话者．

苏格拉底的错误问题通知人们，在数学学习和哲学思索中不能以直观的名义现象为依据，应该以严厉的逻辑为依据．直观具有诈骗性，不牢靠．诚然，直观的不牢靠性并不是苏格拉底第一个发现的，毕达哥拉斯用其定理计算正方形对角线长度时，结果与他哲学的基本思想———“万物皆数”发作不可调和的矛盾，这使得他发现了在数学中直观的不牢靠性．直观在阐明问题时十分有用，但是也有诈骗性．从此，几何学的演绎推理成为西方的理性肉体和数学教育思想的传统．

苏格拉底错误问题不是独树一帜的，该问题被提出后，西方的数学家和数学教育家制造了很多相似的问题．往常在日本、美国等国度中小学数学教科书中也恰当地设置了数学错误性问题，旨在培育学生的数学思想和辩证思想．例如“线段等于其部分”“船长的故事”等，这里不赘述．

７　没有结尾的结语

《雅典学院》是逾越时空的具有无限想象和聪慧的艺术作品，本文仅将毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、欧几里得和苏格拉底作为典型来论述．实践上，作品中的托勒密、达·芬奇以及其他哲学家们的成就都与数学有关，因而，全面展示《雅典学院》中的数学文化是不理想的．另外，固然拉斐尔或许没有有认识地运用数学中的黄金比例措施和透视法，但是在《雅典学院》的构图和创作中均有这些措施的身影，这里不做研讨．总之，本文只能给出《雅典学院》所包含的数学文化的基本线索，今后需从数学、科学、哲学和艺术的视角对《雅典学院》作进一步思索与研讨，同时以《雅典学院》为基础，在更宽广的范畴中去调查数学文化．

参考文献

［１］　修·昂纳，约翰·弗莱明．世界艺术史［Ｍ］．吴介祯

等，译．北京：北京美术摄影出版社，２０１３：４７．

［２］　Ｈａｌｌ　Ｍ．Ｒａｐｈａｅｌ’ｓ　ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ａｔｈｅｎｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：

Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ：１９９７：５１．

［３］　小原国芳．玉川儿童百科大辞典［Ｍ］．东京：诚文堂

新光社，１９７５：３０．

［４］　Ｃｏｏｋｅ　Ｒ　Ｌ．Ｔｈｅ　Ｈｉｓｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ａ　Ｂｒｉｅｆ

Ｃｏｕｒｓｅ［Ｍ］．Ｈｏｂｏｋｅｎ：Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ　＆Ｓｏｎｓ，Ｉｎｃ．，

２００５：４９．

［５］　戴维·林德伯格．西方科学的来源［Ｍ］．张卜天，译．

长沙：湖南科学技术出版社，２０１６：３１５．

［６］　卡尔·Ｂ·博耶．数学史［Ｍ］．秦传安，译．北京：中央

编译出版社，２０１４：３０１．

［７］___________　斯蒂芬·Ｆ·梅森．自然科学史［Ｍ］．周煦良，全增根

等，译．上海：上海译文出版社，１９８４：５０．

［８］　汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚．希腊哲学史（第一

卷）［Ｍ］．北京：人民出版社，１９９７：２８０－２９０．

［９］　蒂莫西·弗登．佛罗伦萨———圣母百花大教堂博物

馆［Ｍ］．郑昕，译．南京：译林出版社，２０１５：１００．

［１０］林夏水．数学哲学［Ｍ］．北京：商务印书馆，２００３：４２．

［１１］迈克尔·阿拉比，德雷克·杰特森．科学巨匠［Ｍ］．陈

泽加，译．上海：上海科学提高出版社，２００３：１１．

［１２］杰里·本特利，赫伯特·齐格勒，希瑟·斯特里兹．

简明新全球史［Ｍ］．魏凤莲，译．北京：北京大学出版

社，２０１８：１８０．

［１３］柏拉图．柏拉图全集（第三卷）［Ｍ］．王晓朝，译．北京：

人民出版社，２００３：２６５．

［１４］林夏水．数学与哲学———林夏水文选［Ｍ］．北京：社会

科学文献出版社，２０１５：８８－９８．

［１５］孙小礼．数学·科学·哲学［Ｍ］．北京：光明日报出版

社，１９８８：２１．

［１６］恩格斯．反杜林论［Ｍ］．中共中央马克思、恩格斯、列

宁、斯大林著作编译局，译．北京：人民出版社，

２０１８：３８．

［１７］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程规范

（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１７：１．

［１８］Ｍｉｌｌｅｒ　Ｃ　Ｄ，Ｈｅｅｒｅｎ　Ｖ　Ｅ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｉｄｅａｓ［Ｍ］．

Ｉｌｌｉｎｏｉｓ：Ｓｃｏｔｔ，Ｆｏｒｅｓｍａｎ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐａｎｙ，１９７８：２８９．

［１９］肯尼斯·克拉克．文化［Ｍ］．易英，译．北京：中国美术

学院出版社，２０１９：１１２．

［２０］杰里米·斯坦格鲁姆，詹姆斯·加维．西方哲学画

传［Ｍ］．肖聿，译．北京：新华出版社，２０１４：７９．

［２１］乔治·萨顿．希腊黄金时期的古代科学［Ｍ］．鲁旭东，

译．郑州：大象出版社，２０１０：３２８．

［２２］君特·费格尔．苏格拉底［Ｍ］．杨光，译．上海：华东师

范大学出版社，２０１６：１２．

［２３］Ｒｏｂｓｏｎ　Ｅ，Ｓｔｅｄａｌｌ　Ｊ．Ｔｈｅ　Ｏｘｆｏｒｄ　Ｈａｎｄｂｏｏｋ　ｏｆ　ｔｈｅ

Ｈｉｓｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ［Ｍ］．Ｏｘｆｏｒｄ：Ｏｘｆｏｒｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｐｒｅｓｓ　Ｉｎｃ．，２００８：５４１．

［２４］Ｆ·Ｎ·麦吉尔．世界哲学宝库———世界２２５篇哲学

名著评述［Ｍ］．北京：中国广播电视出版社，

１９９１：１５８．

［２５］柏拉图．柏拉图全集（第二卷）［Ｍ］．北京：人民出版

社，２００３：５０８．

［２６］ 阿贝尔· 雅卡尔．睡莲的方程式———科学的乐

趣［Ｍ］．姜海佳，译．桂林：广西师范大学出版社，

２００１：５７．

［２７］柏拉图．柏拉图全集（第一卷）［Ｍ］．王晓朝，译．北京：

人民出版社，２００２：５０８－５１６．

［２８］维特鲁威．建筑十书［Ｍ］．Ｔ．Ｎ．豪评注插图，Ｉ．Ｄ．罗兰，英

译，陈平，中译．北京：北京大学出版社，２０１２：１５５．

［２９］吴国盛．科学的进程（上册）［Ｍ］．长沙：湖南科学技术

出版社，１９９５：１０５．