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数据简化DataSimp导读：蒙特卡罗(Monte Carlo)措施，也叫随机模仿措施，是一种基于"随机数"的迫近计算措施。本文概述蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)的概念、来源、思绪、应用、特性、计算程序、计算举例和文献资料。文末列出20篇延申阅读文献资料，可用于后续学习。关键词：蒙特卡洛/蒙特卡罗(Monte Carlo)、蒙特卡洛措施/蒙特卡罗措施(Monte Carlo Mehtod)、随机模仿、随机计算、计算、模仿。 目录 A蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)概述(18k字) 一、蒙特·卡罗(Monte Carlo)措施简介 二、蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)的来源 三、蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)处置问题的思绪 四、蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)的计算程序 五、蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)计算编程举例 六、蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)文献资料 素材(1690字) 蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)概述——概念、来源、思绪、应用、特性、计算程序、计算举例和文献资料 文|秦陇纪，数据简化DataSimp20190703Wed
二十世纪四十年代(1940s)中期，由于科学技术的展开和电子计算机的发明，产生了以概率统计理论为指导的十分重要的一类数值计算措施，运用随机数(或易完成的伪随机数)来处置很多计算问题——蒙特·卡罗(Monte Carlo)措施。普通称为蒙特卡洛措施/蒙特卡罗措施、统计模仿措施(随机模仿措施)，属于非肯定性算法，与其对应的是肯定性算法。它的原理是经过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值[1]。它十分强大和灵活，又相当简单易懂，很容易完成。关于许多问题来说，它常常是最简单的计算措施，有时以至是独一可行的措施。蒙特卡罗措施在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等范畴应用普遍。 一、蒙特·卡罗(Monte Carlo)措施简介
图2：蒙卡程序模块简图 蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)也称为计算机随机模仿措施，是一种基于"随机数"的计算措施，是一类随机措施的统称。这类措施的特性是，能够在随机采样上计算得到近似结果，随着采样的增加，得到的结果是正确结果的概率逐步加大，但在(放弃随机采样，而采用相似全采样这样的确定性措施)取得真正的结果之前，无法知道目前得到的结果是不是真正的结果。
1946年，美国拉斯阿莫斯国度实验室(Los Alamos National Lab)的三位科学家John von Neumann(冯诺依曼)，Stan Ulam(斯坦乌尔姆)和Nick Metropolis(尼克梅特珀利斯)共同发明，被称为蒙特卡洛措施。具定义是：在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形，往常要计算这个不规则图形的面积，蒙特卡洛(Monte Carlo)措施通知我们，平均的向该正方形内撒N(N是一个很大的自然数)个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何外形内部，好比说有M个，那么，这个奇特形积与正方形的面积之比便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有堆叠。 举例阐明，一个有10000个整数的汇合，请求其中位数，能够从中抽取m<10000个数，把它们的中位数近似地看作这个汇合的中位数。随着m增大，近似结果是最终结果的概率也在增大，但除非把整个汇合全部遍历一边，无法知道近似结果是不是真实结果。 另外一个例子，给定数N，请求它是不是素数，能够任选m个小于N的数，看其中有没有能整除N的数，假如没有则判别为素数。这和通常见到的蒙特卡罗例子不同，近似结果常常错得更离谱，但随着m增大，近似结果是最终结果的概率也在增大。 把蒙特卡罗措施和另外一类措施——拉斯维加斯措施[2]对比一下，更容易了解哪些措施属于蒙特卡罗，哪些不属于。拉斯维加斯措施是另一类随机措施的统称。这类措施的特性是，随着采样次数的增加，得到的正确结果的概率逐步加大，假如随机采样过程中曾经找到了正确结果，该措施能够判别并讲演，但在但在放弃随机采样，而采用相似全采样这样的确定性措施之前，不保障能找到任何结果(包含近似结果)。 举例阐明，有一个有死胡同但无环路的迷宫，请求从入口走到出口的一条途径。能够从入口动身，在每个叉路口随机选择一个方向前行，到死胡同则讲演失败并回到入口重新试探，到出口则讲演胜利。随着试探次数增加，找到一条入口到出口的途径的概率增大，但除非全枚举，即便试10000年，也无法保障找到任何请求的途径。 二、蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)的来源 蒙特卡罗措施(下文简称为MC措施)也称为计算机随机模仿措施，是一种基于“随机数”的计算措施。这一措施降生于上世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗(Monte Carlo)——位于法国的国中之国摩纳哥的一个以赌博业出名的城市。而赌博意味概率；蒙特卡罗措施正是以概率为基础的措施，属于非肯定性算法，与它对应的是肯定性算法。
2.1 世界著名赌城——蒙特卡罗(Monte Carlo) 蒙特卡罗是一个多义词(共3个义项)：随机模仿措施摩纳哥公国城市2011年托马斯·伯祖查执导的一部美国电影。我们先简单了解一下这个以赌博为生的中央——摩纳哥公国(法语La Principauté de Monaco，英语The Principality ofMonaco)及其最大城市——蒙特卡罗(Monte Carlo)。 在欧洲大陆上，从挪威到荷兰，从英国到丹麦，无一不是一个个君主制国度，但在君主立宪的时期，这些国度的帝王们并无实权。而在摩纳哥，却有着整个欧洲独一的一个实权王室，在这个极度兴隆的小国里，王权是高高在上的，在这里的每一项大小事情简直全都须经亲王的允许才干实行。但摩纳哥的传奇并不只限于此，1899-1922年在位公爵阿尔贝一世是位出色的航海家，他将赌场的大笔收入用于海洋科学研讨，先后组织过28次海洋调查，并于1910年建起举世出名的海洋博物馆。世人称之为“赌博之国”、“袖珍之国”、“邮票小国”的摩纳哥公国，位于欧洲地中海之滨、法国的东南方，属于一个幅员很小的国度。蒙特卡罗的赌业，海洋博物馆的奇迹，格蕾丝王妃的下嫁，都为这个小国添加了许多传奇颜色，作为世界上人口最密集的一个国度，摩纳哥在仅有1.95平方千米的疆土上汇集了3.3万的人口，可谓地窄人稠。但相关于法国，摩纳哥的地域真实是微乎其微，在法国地图上，这个国中之国就像一小滴不慎滴在法国幅员内的墨汁，小得不大会惹起人去留意它的存在。
蒙特卡罗(Monte Carlo)是摩纳哥公国的标记、最大城市、世界著名的三大赌城之一(美国超级赌城拉斯维加斯、号称东方拉斯维加斯的中国澳门)。1856年，查尔三世亲王为解除财政危机，在旧市区北边岬角上开设首家赌场，后人为了留念他，将该地域命名为蒙特卡罗。在这个小而精致的城市里，具有世界出名的大赌场，赌博之余还能够去奢华的歌剧院听歌剧，去明丽的海滩洗日光浴。蒙特卡罗的大赌场、海滨俱乐部、体育俱乐部、高尔夫球乡村俱乐部、歌剧院都是世界一流的。赌博业收入曾占该国年总收入70%以上，现往常仍坚持在40%左右。同时旅游业和房地产业也相应蓬勃展开，近年构成“寸土寸金”局面，土地每平方米价钱竟高达八万至十万法国法郎，平均房价高达每平方英尺4420美圆。(1平方英尺≈0.09290304平方米，蒙特卡罗房价每平米约32万人民币)。每年来此旅游的赌客总在二十万人次以上。蒙特卡罗也由此成就“世界赌城”称号。[2]
始建于1863年的蒙特卡罗赌场，是一幢古色古香又巍峨的宫殿式建筑物，加上山明水秀，华美堂皇，使游客抵达门前，立生好感，是蒙特卡罗的缩影。但依照摩纳哥法律，本国人不准入内赌博，观光客凭护照交十法朗便成为一日会员，凭此证才干进入赌场。赌场内满铺红地毯，有合适歌剧表演的大舞台，再过一道门进入一间大厅，便是著名的赌场，侍者衣着划一的礼服，氛围不同凡响。赌场以轮盘为主，只需下点小赌注，桌上筹码搬家的声音就会响起，想像着财富不知几时会突如其来，那种阅历和觉得，紧紧地吸收着世界赌徒。这里宾馆的房间号码、早餐用的盘子、盛牛奶的杯子以及集邮册等等一切无不成为赌博工具。1967年，赌场由政府接纳，到上个世纪末，赌场里随着“大轮盘”昼夜不停地飞转，年收入超越了四千万法国法郎。[3] 2.2 蒙特卡罗措施(MonteCarlo Method)来源 20世纪40年代，第二次世界大战中美国研制原子弹的“曼哈顿计划”计划成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出蒙特卡罗措施(MonteCarlo Method)。该计划的掌管人之一、数学家数学家冯·诺伊曼用着名世界的赌城——摩纳哥的MonteCarlo来命名这种措施，为它蒙上了一层神秘颜色。蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)的开创人主要是四位美国人：Stanislaw Marcin Ulam(乌拉姆，波兰裔数学家)、Enrico Fermi(恩里科·费米，意大利裔物理学家)、Johnvon Neumann(约翰·冯·诺伊曼，计算机结构奠基人)和Nicholas ConstantineMetropolis(尼古拉斯·康斯坦丁·美特普利斯，希腊裔数学家)。
现代的统计模仿措施最早由数学家乌拉姆提出，被Metropolis(美特普利斯)命名为蒙特卡罗措施，蒙特卡罗是著名的赌场，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名诙谐而贴切，很快被大家普遍接受。被不外听说费米之前就曾经在实验中运用了，但是没有发表。乌拉姆(Stanislaw Marcin Ulam)是波兰裔美籍数学家，早年是研讨拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴味遂转向应用数学，他首先提出用蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)处置计算数学中的一些问题，然后又将其应用四处置链式反响的理论中去，在美国洛斯阿拉莫斯国度实验室(Los Alamos NationalLab)研讨裂变物质的中子连锁反响的时分，开端运用统计模仿的措施，并在最早的计算机上中止编程完成，是蒙卡MC措施的奠基人。意大利裔美国人恩里科·费米(Enrico Fermi)是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，但英年早逝(上帝都嫉妒)。约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann)是计算机界的牛顿，发明计算机硬件著名的冯诺依曼架构，也是十分凶猛，结果和Fermi一样英年早逝(被上帝嫉妒死了)。尼古拉斯·美特普利斯(Nicholas Metropolis)是希腊裔美籍数学家、物理学家、计算机科学家，对Monte Carlo措施做的贡献相当大，1953年他和他人共同提出模仿退火算法(SimulatedAnnealing)，使得Monte Carlo措施得到普遍应用，Metropolis终身主要的贡献就是Monte Carlo措施，很专注；他硕士毕业于BSc (1937) and PhD(1941)博士毕业，生于Born: Jun 11, 1915, Chicago,IL，逝于Died: Oct 17, 1999, LosAlamos, NM，活了84岁，是这四个人里独一短命的科学家。
蒙特卡罗(Monte Carlo)措施的基本思想很早以前就被人们所发现和应用。在这四人发明现代统计模仿措施，即蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)之前，相似蒙特卡罗措施的算法就曾经存在。早在17世纪，人们就知道用事情发作的“频率”来决议事情的“概率”。蒙特卡罗措施的源头，能够追溯到18世纪，布丰当年用于计算π的著名的投针实验就是蒙特卡罗模仿实验。【例1】1777年，法国数学家布丰(Georges Louis Leclerede Buffon, 1707-1788)提出用投针实验的措施求圆周率π，共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈30142，得数是圆周率π的近似值，后来他把实验写进他的论文《或然性算术尝试》[4]。这被以为是蒙特卡罗措施的来源。19世纪人们用投针实验的措施来决议圆周率π。统计采样的措施其实数学家们很早就知道，但是在计算机呈现以前，随机数生成的成本很高，所以该措施也没有适用价值。随着计算机技术在二十世纪后半叶的迅猛展开，随机模仿技术很快进入适用阶段。类比到深度学习，算力对算法的推进也是十分明显，令人慨叹！~对那些用肯定算法不可行或不可能处置的问题，蒙特卡罗措施常常为人们带来希望。 三、蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)处置问题的思绪 二十世纪四十年代(1940s)电子计算机的发明，特别是之后高速电子计算机的呈现，使得用数学措施在计算机上大量、快速地模仿像投针法求圆周率π这样的实验成为可能。维基百科上，蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)定义是：一种技术，其中运用概率模型研讨大量随机生成的数字，以找到难以经过其他措施处置的数值问题的近似解。(atechnique in which a large quantity of randomly generated numbers are studiedusing a probabilistic model to find an approximate solution to a numericalproblem that would be difficult to solve by other methods.) 那篇wiki的第一句话就是：Not to be confused withMonte Carlo algorithm. 详情看Monte Carlo method的wiki链接。 一句话，蒙特卡罗基本思想：应用大量采样的措施来求解一些以直接计算得到的积分。例如，假想你有一袋豆子，把豆子平均地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时分，结果就越精确。借助计算机程序能够生成大量平均散布坐标点，然后统计出图形内的点数，经过它们占总点数的比例和坐标点生成范围的面积就能够求出图形面积。又例如，思索平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个外形不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo措施是这样一种“随机化”的措施：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。这种措施对规则图形和不规则图形都适用，以至很多状况下，对某些不规则图形的求解，只能采用蒙卡法(MC)计算。 为了阐明Monte Carlo措施的基本思想，我们再看一个简单例子，从此例中你能够感受如何用Monte Carlo措施思索问题。 【例2】好比，求y=x^2(对x)从0积到1的面积。结果就是下图红色部分的面积：
留意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所以所求区域的面积即为在正方形区域内任取点，点落在所求区域的概率。这个限制条件是y<x^2。用matlab模仿，做一百万次(即共取1000000个点)，结果为0.3328。 3.1 蒙特卡罗基本思想 当所求解问题是某种随机事情(如，随机事情A)呈现的概率，或者是某个随机变量(如，随机变量B)的希冀值时，经过某种“实验”的措施，以这种事情(如，随机事情A)呈现的频率，估量这一随机事情(如，随机事情A)的概率，或者得到这个随机变量(如，随机变量B)的某些数字特征(得出B的希冀值)，并将其作为问题的解。蒙特卡罗措施的解题过程，能够归结为三个主要步骤(工作过程)：结构或描画概率过程；完成从已知概率散布抽样；树立各种估量量。 3.2 蒙卡法解题三个主要步骤 (1)结构或描画概率过程： 关于自身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描画和模仿这个概率过程，关于原本不是随机性质的确定性问题，好比计算定积分，就必须事前结构一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所请求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 (2)完成从已知概率散布抽样： 结构了概率模型以后，由于各种概率模型都能够看作是由各种各样的概率散布构成的，因而产生已知概率散布的随机变量(或随机向量)，就成为完成蒙特卡罗措施模仿实验的基本伎俩，这也是蒙特卡罗措施被称为随机抽样的缘由。最简单、最基本、最重要的一个概率散布是(0,1)上的平均散布(或称矩形散布)。随机数就是具有这种平均散布的随机变量。随机数序列就是具有这种散布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种散布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个散布的抽样问题。在计算机上，能够用物理措施产生随机数，但价钱昂贵，不能重复，运用不便。另一种措施是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不外，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因而可把它作为真正的随机数来运用。由已知散布随机抽样有各种措施，与从(0,1)上平均散布抽样不同，这些措施都是借助于随机序列来完成的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们完成蒙特卡罗模仿的基本工具。 (3)树立各种估量量： 普通说来，结构了概率模型并能从中抽样后，即完成模仿实验后，我们就要肯定一个随机变量，作为所请求的问题的解，我们称它为无偏估量。树立各种估量量，相当于对模仿实验的结果中止调查和注销，从中得到问题的解。 例如：【例3】检验产品的正品率问题，我们能够用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验能够定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估量量：Ti={1, 为正品; 2, 为次品}；于是，在N次实验后，正品个数为：n=Σ(i=1 to n)Ti；显然，正品率p为：p≈{n/N-1/N×[Σ(i=1to n) Ti]}；不难看出，Ti为无偏估量。当然，还能够引入其它类型的估量，如最大似然估量，渐进有偏估量等。 但是，在蒙特卡罗计算中，运用最多的是无偏估量。用比较笼统的概率言语描画蒙特卡罗措施解题的手续如下：结构一个概率空间(W,A,P)，其中，W是一个事情汇合，A是汇合W的子集的s体，P是在A上树立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q(w),w W，使得这个随机变量的希冀值正好是所请求的解Q，然后用q (w)的简单子样的算术平均值作为Q的近似值。【注：符号()，假如a是汇合A的元素，记作aA，否则记作，汇合N，Q，R分别表示自然数集、有理数集、实数集．要留意符号的规范书写．数集的范围不明或数集的符号记忆错误是出错的主要缘由．元素在汇合中时，用符号“”，而元素不在汇合内时，用符号“”．】 数学应用：通常蒙特·卡罗措施经过结构契合一定规则的随机数来处置数学上的各种问题。关于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者基本没有解析解的问题，蒙特·卡罗措施是一种有效的求出数值解的措施。普通蒙特·卡罗措施在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。而在蒙特卡罗模仿中，与随机数产生的快慢有何关系？——蒙卡计算的最大缺陷是收敛速度慢，招致计算过程时间很长很长。相对而言，随机数产生的快慢，在整个计算过程中，就显得不是什么特别大的问题；随机数最大的问题，在于它的“周期性问题”，由于不论是乘同余措施还是在此基础上转变的复杂的随机数产生措施，都是伪随机数序列。当然，关于运用者而言，只需“随机数”够用即可。 3.3 蒙卡法(MCMethod)特性 蒙卡法与普通计算法有很大区别，普通计算措施关于处置多维或要素复杂的问题十分艰难，而蒙卡法关于处置这方面的问题却比较简单。运用MC措施的特性及其优缺陷： ①直接追踪粒子，物理思绪明晰，易于了解。 ②采用随机抽样的措施，较真切的模仿粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。 ③不受系统多维、多要素等复杂性的限制，是处置复杂系统粒子输运问题的好措施。 ④MC程序结构明晰简单。 ⑤研讨人员采用MC措施编写程序来处置粒子输运问题，比较容易得到自己想得到的恣意中间结果，应用灵活性强。 MC措施主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，假如单纯以增大抽样粒子个数N来减小误差，就要增加很大的计算量。 可用民意检验来作一个不严厉的比方。民意检验的人不是咨询每一个注销选民的意见，而是经过对选民中止小范围的抽样调查来肯定可能的优胜者。其基本思想是一样的。科技计算中的问题比这要复杂得多。好比金融衍消费品(期权、期货、掉期等)的定价及买卖风险预算，问题的维数(即变量的个数)可能高达数百以至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(CourseDimensionality)，传统的数值措施难以对付(即便运用速度最快的计算机)。MC措施能很好地用来对付维数的灾难，由于该措施的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些原本是无法计算的问题往常也能够计算量。为进步措施的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 另一类方式与Monte Carlo措施相似，但理论基础不同的措施——“拟蒙特卡罗措施”(Quasi-MonteCarlo Method)近年来也取得疾速展开。我国数学家华罗庚、王元提出的“华-王”措施即是其中的一例。这种措施的基本思想是“用肯定性的超平均散布序列(数学上称为LowDiscrepancy Sequences)替代Monte Carlo措施中的随机数序列。对某些问题该措施的实践速度普通可比Monte Carlo措施提出高数百倍，并可计算精确度。[7] 3.4 应用范畴 蒙特卡罗措施在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程)、计算机科学与工程(非肯定性计算)等范畴应用普遍。 3.5 工作过程(分子模仿计算项目管理力学) 在处置实践问题的时分应用蒙特·卡罗措施主要有两部分工作： 1．用蒙特·卡罗措施模仿某一过程时，需求产生某一概率散布的随机变量。 2．用统计措施把模型的数字特征估量出来，从而得到实践问题的数值解。 ①分子模仿计算 运用蒙特·卡罗措施中止分子模仿计算是依照以下步骤中止的： 1．运用随机数发作器产生一个随机的分子构型。 2．对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改动，产生一个新的分子构型。 3．计算新的分子构型的能量。 4．比较新的分子构型于改动前的分子构型的能质变更，判别能否接受该构型。 若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，运用这个构型重复再做下一次迭代。若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼因子，并产生一个随机数。若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，运用这个构型重复再做下一次迭代。 5．如此中止迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型终了。 ②项目管理 项目管理中蒙特·卡罗模仿措施的普通步骤是： 1．对每一项活动，输入最小、最大和最可能估量数据，并为其选择一种适合的先验散布模型； 2．计算机依据上述输入，应用给定的某种规则，快速实施充沛大量的随机抽样 3．对随机抽样的数据中止必要的数学计算，求出结果 4．对求出的结果中止统计学处置，求出最小值、最大值以及数学希冀值和单位规范倾向 5．依据求出的统计学处置数据，让计算机自动生成概率散布曲线和累积概率曲线(通常是基于正态散布的概率累积S曲线) 6．依据累积概率曲线中止项目风险剖析。 ③力学 在力学中，蒙特卡罗措施多被用来求解稀薄气体动力学问题，其中最为胜利的是澳大利亚G.A.伯德等人展开的直接模仿统计实验法。此法经过在计算机上追踪几千个或更多的模仿分子的运动、碰撞及其与壁面的相互作用，以模仿真实气体的活动。它的基本假定与玻耳兹曼方程分歧，但它是经过追踪有限个分子的空间位置和速度来替代计算真实气体中散布函数。模仿的相似条件是活动的克努曾数(Kn)相等，即数密度与碰撞截面之积坚持常数。对每个分子分配以记载其位置和速度的单元。在模仿过程中分别思索分子的运动和碰撞，在此平均碰撞时间距离内，分别计算分子无碰撞的运动和典型碰撞。若空间网格取得足够小，其中恣意两个分子都能够相互碰撞。细致决议哪两个刚体分子相撞，是随取一对分子，计算它们的相对速度，依据此值与最大相对速度的比值和随机取样比较的结果，来决议该对分子能否入选。碰撞后分子的速度依据特定分子模型的碰撞力学和随机取样决议。分子与壁面碰撞后的速度，则依据特定的反射模型和随机取样决议。关于运动分子的位置和速度的追踪和求矩能够得出气体的密度、温度、速度等一些感兴味的宏观参量。而关于分子与壁面间的动量和能量交流的记载则给出阻力、举力和热交流系数等的数学希冀值。[8] 3.6 MC法早期展开运用 从理论上来说，蒙特卡罗措施需求大量的实验。实验次数越多，所得到的结果才越精确。
【例4】从表中数据能够看到，不时到公元20世纪初期，固然实验次数数以千计，应用蒙特卡罗措施所得到的圆周率π值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗措施长期得不到推行的主要缘由。 计算机技术的展开，使得蒙特卡罗法在近10年得到快速的提高。现代的蒙特卡罗措施，曾经不用亲身入手做实验，而是借助计算机的高速运转才干，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它岂但用于处置许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常运用。 借助计算机技术，蒙特卡罗措施完成了两大优点： 一是简单，省却了繁复的数学推导和演算过程，使得普通人也能够了解和控制 二是快速。简单和快速，是蒙特卡罗措施在现代项目管理中取得应用的技术基础。 蒙卡法有很强的顺应性，问题的几何外形的复杂性对它的影响不大。该措施的收敛性是指概率意义下的收敛，因而问题维数的增加不会影响它的收敛速度，而且存贮单元也很省，这些是用该措施处置大型复杂问题时的优势。因而，随着电子计算机的展开和科学技术问题的日趋复杂，蒙特卡罗措施的应用也越来越普遍。它不只较好地处置了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学、信息科学、公用事业、地质、医学，牢靠性及计算机科学等普遍的范畴都得到胜利的应用。 四、蒙特卡罗措施(MonteCarlo Method)的计算程序 蒙特卡罗措施是一种数学思想，不是细致一个软件或者算法。为此，科研机构开发了不同范畴的MC法相关计算程序。关于蒙特卡罗措施的计算程序曾经有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT等。下面罗列的这些蒙卡软件，大都是蒙特卡罗措施在核科学中放射性粒子输运模仿的应用软件。这些程序大多经过了多年的展开，破费了几百人年的工作量。除了欧洲核子研讨中心(CERN)发行的GEANT主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模仿外，其它程序都深化到低能范畴，并被普遍应用。就电子和光子输运的模仿而言，这些程序可被分为两个系列： 1．EGS4、FLUKA、GRANT 2．ETRAN、ITS、MCNP 这两个系列的区别在于：关于电子输运过程的模仿依据不同的理论采用了不同的算法。 EGS4和ETRAN分别为两个系列的基础，其它程序都采用了它们的中心算法。 ETRAN(for ElectronTransport)由美国国度规范局辐射研讨中心开发，主要模仿光子和电子，能量范围可从1KeV到1GeV。 ITS(The integrated TIGERSeries of Coupled Electron/Photon Monte Carlo Transport Codes)是由美国圣地亚哥(Sandia)国度实验室在ETRAN的基础上开发的一系列模仿计算程序，包含TIGER、CYLTRAN、ACCEPT等，它们的主要差别在于几何模型的不同。 TIGER研讨的是一维多层的问题，CYLTRAN研讨的是粒子在圆柱形介质中的输运问题，ACCEPT是处置粒子在三维空间输运的通用程序。 NCNP(Monte Carlo Neutronand Photo Transport Code)由美国橡树林国度实验室(Oak Ridge NationalLaboratory)开发的一套模仿中子、光子和电子在物质中输运过程的通用MC计算程序，在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模仿，只模仿中子和光子，较新的版本(如MCNP4A)则引进了ETRAN，参与了对电子的模仿。 FLUKA是一个能够模仿包含中子、电子、光子和质子等30余种粒子的大型MC计算程序，它把EGS4容纳进来以完成对光子和电子输运过程的模仿，并且对低能电子的输运算法中止了改进。 五、蒙特卡罗措施(MonteCarlo Method)计算编程举例 小时分在课外书上学过一个计算pi值的算法，用一根长度为2r的小木棍，随机地丢在行间距为r的信纸上(就是那种很常见的一行一行的信纸)，然后数木棍和线的交叉点，然后除以丢的次数，就能够得到pi的近似值，用的就是MC措施。这是布丰投针实验，在概率论的展开史上很有名。用简单的几何概型学问能够知道，假如将一个半径为r/pi的圆随机地丢在行间距为r的一组数目足够多的等距平行线之间，则圆与平行线有公共点的概率为2/pi。布丰的想法，能够简单天文解为，布丰以为将这个圆从中间剪开，拉直为一个线段之后，这条线段与平行线有2个公共点的概率不变，仍为2/pi。易知，这条线段的长度为2r。中止大量的“投针”实验后，这条线段与平行线有公共点的概率能够近似地以为等于实验中线段与平行线有公共点的次数除以总的投针次数。简单的运算之后，大家就能够知道，总的投针次数除以实验中线段与平行线有公共点的次数的结果即为pi/2的近似值。 下面经过如下五个例子，继续引见蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)。 4.1 π的计算 第一个例子是，【例5】如何用蒙特卡罗措施计算圆周率π。 【解】正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
往常，在这个正方形内部，随机产生10000个点，即10000个坐标对(x,y)，计算它们与中心点的距离，从而判别能否落在圆的内部。
假如这些点平均散布，那么圆内的点应该占到一切点的π/4，因而将这个比值乘以4，就是π的值。经过R言语脚本随机模仿30000个点，π的预算值与真实值相差0.07%。 用py和c各编程计算，每次都在3.7，误差太大了。我的措施是取一组两个0-1的随机数，(x,y)在第一象限，四分之一圆弧，面积为pi*1*1/4，正方形面积为1*1，比值也是pi/4。程序如下。 #!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- from random import random from math import sqrt x = y = inn = out = 0.0 for i in range(30000): x = random y = random print(x, y) if (sqrt(x * x + y * y) inn += 1.0 else: out += 1.0 print(inn / out) 【剖析】print(inn / out)应该是 print(4*inn/30000)。你这个的确有问题，不是平均散布吧，要用random.uniform才是平均散布。就算是用UNIFORM很难算到3.1******。这个明显是代码写错了，inn应该是去除总数30000再乘以4才是pi。 #!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- from random import random from math import sqrt x = y = inn = out = 0.0 for i in range(30000): x = random y = random print(x, y) if (sqrt(x * x + y * y) inn += 1.0 else: out += 1.0 print(inn / out) import numpy as np import random n = 10000 r = 1.0 data = [random.random**2 + random.random**2 for x inrange(n)] num = np.sum(np.array(data) < r**2) p = 4.0 * num / n print("pi is roughly: " , p) 【剖析】正方形与圆的比是4/π才对啊！用random函数没错。最后一句print(inn / out)错了。改成：print(inn / (out + inn)* 4)。 【疑问】有个问题，为什么要随机。假如换成点阵式的排列会不会更精准一些？ 【剖析】若用点阵，固然平均，但由于点间距必须是固定的，人为地影响了圆周左近部分点能否在圆内，因而这个固定的点间距会对计算结果产生影响。因而若要减小误差，就得不时进步点阵密度，所需计算量/工作量要大一些(个人以为)。若采用随机点，相当于恣意精度的点阵，消弭了固定间距的影响，因而能够用更少的点取得差未几的结果。你所说的概率2/pi并不是这么简单得来的。倡议大家无妨查阅其它更为细致的资料。用Matlab模仿了一下，程序如下。 num = 100000; x = rand(num, 1); sim_y = rand(num, 1); eval('y = x.^2;'); area = sum(sim_y plot_x = 0:0.01:1; plot_y = plot_x.^2; plot(x, sim_y, '.'); hold on; plot(plot_x, plot_y, 'linewidth', 2); fprintf('area is %d', area); 10万个点，结果是0.3332500。 4.2 积分的计算 【例6，同例2】上面的措施加以推行，就能够计算恣意一个积分的值。
好比，计算函数y=x2在[0,1]区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
【解】这个函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，能够计算出有多少点落在红色区域(判别条件y<x2)。这个比重就是所请求的积分值。用Matlab模仿100万个随机点，结果为0.3328。 4.3 交通梗塞 蒙特卡罗措施不只能够用于计算，还能够用于模仿系统内部的随机运动。下面的例子模仿单车道的交通梗塞。 【例7】依据Nagel-Schreckenberg模型，车辆的运动满足以下规则。 当前速度是v。 假如前面没车，它在下一秒的速度会进步到v+1，直到抵达规则的最高限速。 假如前面有车，距离为d，且d<v，那么它在下一秒的速度会降低到d-1。 此外，司机还会以概率p随机减速，将下一秒的速度降低到v-1。 【解】在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率p为0.3。
上图中，横轴代表距离(从左到右)，纵轴代表时间(从上到下)，因而每一行就表示下一秒的道路状况。能够看到，该模型会随机产生交通拥堵(图形上黑色汇集的部分)。这就证明了，单车道即便没有任何缘由，也会产生交通梗塞。【疑问】交通拥堵这个例子，貌似和蒙特卡罗没有太大关系吧？NaSch模型仿真用的是元胞自动机模型，随机刹车概率是固定的p。 4.4 产品厚度 【例8】某产品由八个零件堆叠组成。也就是说，这八个零件的厚度总和，等于该产品的厚度。
已知该产品的厚度，必须控制在27mm以内，但是每个零件有一定的概率，厚度会超出误差。请问有多大的概率，产品的厚度会超出27mm？
【解】取100000个随机样本，每个样本有8个值，对应8个零件各自的厚度。计算发现，产品的合格率为99.9979%，即百万分之21的概率，厚度会超出27mm。 4.5 证券市场 证券市场有时买卖生动，有时买卖冷落。下面是你对市场的预测。 【例9】假如买卖冷落，你会以平均价11元，卖出5万股。 假如买卖生动，你会以平均价8元，卖出10万股。 假如买卖温和，你会以平均价10元，卖出7.5万股。 已知你的成本在每股5.5元到7.5元之间，平均6.5元。请问接下来的买卖，你的净利润会是多少？ 【解】取1000个随机样本，每个样本有两个数值：一个是证券的成本(5.5元到7.5元之间的平均散布)，另一个是当前市场状态(冷落、生动、温和，各有三分之一可能)。
模仿计算得到，平均净利润为92, 427美圆。【留意】有个固定支出成本fixed costs＝$120000，即(4.5*5+1.5*10+3.5*7.5)/3-12=9.25(万)，必须有个12万才对。最后结果减去这个数就对了，网上文章这个中央也是自己找的资料，翻译时疏忽了。 【编程】网上有人看上标编程算出21万多，没有减去固定成本，证券市场这个题就会算错。 #-*-coding:utf-8-*- import random def countProfit(n): count = 0; for i in range(n): cost = random.uniform(5.5,7.5) pro = (11-cost)*5 + (8-cost)*10 + (10-cost)*7.5 count += pro; return count / (3*n) print countProfit(400) 讲蒙特卡罗模仿的用处，至于蒙特卡罗如何计算，都有软件。好比证券这个例子，1000次抽样，每次按平均散布随机选定一个成本值、同时按1/3的概率选中一个市场情境，然后拿这两个参数可计算出净利润、平均利润，千次加总并取均值就是结果。1000次抽样的技术自身就是蒙特卡罗模仿，这个没必要讲，究竟，本文只是在引见蒙特卡罗模仿的用处。 六、蒙特卡罗措施(Monte CarloMethod)文献资料 6.1 学术著作和实验室 1.橡树岭国度实验室(Oak Ridge National Laboratory | ORNL). 2.4.7Monte Carlo Integration (Our First Application of Monte Carlo) 3 Sampling fromProbability Distribution Functions. 3.1 Equivalent Continuous pdf's; 3.2Transformation of pdf's. 3.2.1 Sampling via Inversion of the cdf. 3.3 More onSampling. ... verena@csep1.phy.ornl.gov ...网站：http://csep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html, https://www.phy.ornl.gov/csep/mc/mc.html. 2.《蒙特卡罗措施》，徐钟济著，上海科学技术出版社. 3.《科学计算中的蒙特卡罗战略》(当代科学前沿论丛)(MonteCarlo Strategies in Scientific Computing)，作者:刘军，译者:唐年胜，周勇，徐亮. 4.统计物理学中的蒙特卡罗模仿措施(德)宾德(Binder,K.)，赫尔曼(Heermann,D.W.)著，北京大学出版社1994.2. 5.小尺寸半导体器件的蒙特卡罗模仿，叶良修编著，科学出版社1997.2. 6.蒙特卡罗措施及其在粒子输运问题中的应用，裴鹿成，张孝泽著，科学出版社1980.10. 7.统计实验法：(蒙特卡罗法)及其在电子数字计算机上的完成(苏)，布斯连科(Н. П.Бусленко)，(苏)上海科学技术出版社. 6.2 中文图书和网文 8.高分子科学中的MonteCarlo措施，杨玉良，复旦大学出版社1993.127-309-01361-1 9.MonteCarlo simulation of semiconductor devicesC. Moglestue.Chapman & Hall，1993.041247770X 10.MonteCarlo methods in statistical physicswith contributions by K. Binder ... [etal.] ; ediSpringer-Verlag,1979. 11.Guideto Monte Carlo simulations in statistical physicsDavid P. Landau, KurtBinder.Cambridge University Press,c2000. 12.MonteCarlo methods in statistical physicsedited by K. Binder ; with contributions byK. BinSpringer-Verlag,c1986. 13.Applicationsof the Monte Carlo method in statistical physicsedited by K.Binder.Springer,1984. 14.MonteCarlo Device SimulationKarl HessKluwer Acadmic. 15.Introduction To MonteCarlo Methods，by Alex Woods. http://alexhwoods.com/2015/07/25/introduction-to-monte-carlo-methods/ 16.Monte Carlo Simulation Tutorial. http://www.solver.com/monte-carlo-simulation-example 17.蒙特卡罗(Monte Carlo)措施简介，by王晓勇. (有照抄错误，本文已找到原文并更正) http://blog.sciencenet.cn/blog-324394-292355.html. 18.蒙特卡罗(Monte Carlo)模仿的一个应用实例. http://blog.sina.com.cn/s/blog_7e4eb7870100r3tn.html. 19.AnIntroduction To Multiagent Systems - M. Wooldridge (Wiley, 2002) WW[upload=pdf]. 20.DisorderedAlloys - Diffuse Scattering and Monte Carlo Simulations - W. Schweika(Springer, 1998) WW (2). 21.Fundamentalsof the Monte Carlo Method for Neutral and Charged Particle Transport - A.Bielajew (Univ Mich, 2000). 22.WileyMonte Carlo Simulation and Finance. 23.MonteCarlo Sampling of Solutions to Inverse Problems (jnl article) - K. Mosegaard(1995) WW. http://www.gfy.ku.dk/~klaus/papers/B4-MT1995-LaTeX.pdf是一篇文献而不是图书. 6.3 弥补阐明MC和LV两类随机算法 理工科学算法的时分，书上的蒙特卡罗算法只讲计算圆周率的例子，有的还讲不分明。让很多学生误以为那就是蒙特卡罗的全部内容。其实，随机算法分为两类：蒙特卡罗和拉斯维加斯。 蒙特卡罗指的是算法的时间复杂度固定，但是结果有一定几率失败。 拉斯维加斯指的是算法一定胜利，但是运转时间是概率的。 拉斯维加斯比较好的例子有：quicksort,quickselect,skiplist等。 本本文中的取样随机变量只是蒙特卡罗算法的一小部分，更精确地说是PRAS(Polynomial-time Randomized Approximation Scheme)。我希望以较大约率得到一个误差率在1/epsilon范围内的值，于是用O(p(n)epsilon)的复杂度去计算，大约是这种觉得。 还有其他的蒙特卡罗能够做到最优化或者判定性问题，例如7/8估量Max3SAT问题的算法。给定一个Max3SAT实例，算法随机给每个变量赋值，重复很多次取最优解。能够证明有较大约率得到一个最优解7/8以上的解(Tardos的书上应该有证明)。 【MC法转换为LV法】其实留意到一切的拉斯维加斯算法都能够转化为蒙特卡罗算法，反之不一定，很多时分会直接研讨蒙特卡罗算法。本篇文章并没触及算法层面内容，只是在用一种形象的方式引见蒙特卡罗措施的中心机想。 (注：素材来自网文[1-16]。相关图文版权归原作者一切。) 素材(1690字) 1. wikipedia Monte Carlo method. [EB/OL], Wikipedia,http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method, visiting date: 2019-07-03Wed 2,3. 词条统计：阅读936425次，编辑65次历史版本，最近更新：云翁__唐朝(2019-03-25). 蒙特卡罗(地中海沿岸城市). [EB/OL],baidu, http://baike.baidu.com/view/1675475.htm, 2019-03-25, visiting date:2019-07-03Wed 4,7. Motwain R., Raghavan P.Randomized Algorithms. New York: Cambridge University Press, 1995 5. LU C.J.PhD Thesis 1999 6. 陈国良．并行算法的设计和剖析：高等教育出版社，2009-8 8. 王晓东．算法设计与剖析：北京清华大学出版社，2002 9. 词条作者：沈青，《中国大百科全书》74卷(第一版)力学词条：蒙特卡罗措施：中国大百科全书出版社，1985 ：354页 10. 词条统计：阅读930701次，编辑27次历史版本，最近更新：w_ou(2018-08-11).蒙特·卡罗措施. [EB/OL], baidu,http://baike.baidu.com/view/42460.htm, 2018-08-11, visiting date: 2019-07-03Wed 11. braveHeart. Monte Carlo措施简介. [EB/OL], sina, http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e8154170100cgc4.html,2009-02-24 10:26:14, visiting date: 2019-07-03Wed 12. for sale. [EB/OL], for sale, http://www.charlesgao.com/?p=121,visiting date: 2019-07-03Wed 13. 404. 博客大巴. [EB/OL], http://gorilla.blogbus.com/logs/4669.html, visiting date:2019-07-03Wed 14. 词条统计：阅读936425次，编辑65次历史版本，最近更新：云翁__唐朝(2019-03-25). 蒙特卡罗(地中海沿岸城市). [EB/OL],baidu, http://baike.baidu.com/view/1675475.htm, 2019-03-25, visiting date:2019-07-03Wed 15. 通向明天的路分享http://blog.sciencenet.cn/u/vxy. 蒙特卡罗(Monte Carlo)措施简介. [EB/OL], http://blog.sciencenet.cn/blog-324394-292355.html,2010-2-3 15:21, visiting date: 2019-07-03Wed 16. 阮一峰. 蒙特卡罗措施入门. [EB/OL], 算法与数学之美, https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5ODUxOTA5Mg==&mid=2652567298&idx=2&sn=7317b510293dfadbec582fe0f6e81b63,20190610, visiting date: 2019-07-03Wed x. 秦陇纪. 西方哲学与人工智能、计算机; 人工智能编年史; 人工智能达特茅斯夏季研讨项目提案(1955年8月31日)中英对照版; 人工智能研讨现状及教育应用; 计算机操作系统的演进、谱系和产品展开史; 数据科学与大数据技术专业概论; 数据资源概论; 文本数据溯源与简化; 大数据简化技术体系; 数据简化社区概述. [EB/OL], 数据简化DataSimp(微信公众号),https://dsc.datasimp.org/, http://www.datasimp.org, 2017-06-06. —END— 免责阐明：公开期刊媒体资料汇编，只为学术新闻信息传播，注明出处素材可溯源。本公众号不持有任何倾向性，亦不表示认可其观念或其所述。 蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)概述——概念、来源、思绪、应用、特性、计算程序、计算举例和文献资料(21k字) (公号发“蒙特卡罗措施”下载PDF) PhDS01秦陇纪2010-2019数据简化DataSimp DataSimp217蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)概述DS20190703WedQinDragon.docx 简介：蒙特卡罗措施(Monte Carlo Method)概述——概念、来源、思绪、应用、计算程序、举例和文献资料。作者：秦陇纪。素材：维基网文/秦陇纪微信群聊公众号，素材附引文出处。下载：如需本文21k字19图17页PDF资料，赞扬支持后，公号发送“蒙特卡罗措施”获取链接。版权：科普文章仅供学习，公开部分资料版权归原作者，请勿用于商业非法目的，数据简化社区保存相应版权。有事留言或QinDragon2010@qq.com。转载：请保存作者、出处、时间等信息，如“出自公号数据简化DataSimp，作者：秦陇纪，时间：20190703Wed数据简化SataSmip社区NC非商业受权”等字样。 A蒙特卡罗措施(MonteCarlo Method)概述(18k字) “数据简化DataSimp”公众科普技术分享 社区：“数据简化DataSimp、科学Sciences、学问简化”新媒体汇集专业范畴一线研讨员；研讨技术时也传播学问、专业视角解释和提高科学现象和原理，展示自然社会生活之科学面。PhDS01秦陇纪发起，等候您参与各范畴；科学技术论文投稿邮箱DataSimp@126.com。只会敲门呼吁，不能推进范畴；只需空想设计，无法完成消费，就虚度终身。工程技术才干至关重要，秦陇纪与君共勉之。欢送科学、工程、技术、教育、传媒等业界专家投稿、参与数据简化社区！欢送大家
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