重点摘要 格罗腾迪克是二十世纪的数学巨匠,为代数几何开启全新的容颜,数学影响仍方兴未艾。 格罗腾迪克早年多舛,与父母颠沛流离。他的数学背景贫乏,一切出于自学,但天资奇高,在苦学深思与师友攻错下,终于成为一代宗师。 格罗腾迪克以韦伊猜测为目的,从范畴论观念所铸造的新工具,连结了离散的数论世界与连续的拓扑世界,启迪了多位菲尔兹奖得主的工作。
数学家格罗腾迪克(Alexandre Grothendieck)关于与数学有关的事物十分敏锐,能够深化感遭到数学建筑结构中精巧与文雅的面向。以他生平的一些高峰为例,他是法国科学高等研讨院(IHS)的兴办人之一,1966 年又取得菲尔兹奖,光这些就足以保障他跻身二十世纪数学的万神殿。不外这些细节并缺乏以控制格罗腾迪克研讨的实质,他的成就本源植于更有生机、更质朴的中央。正如他在长篇回想录《收割与收获》(Récoltes et Semailles)中所述:“倾听事物之声的专注质量,熏陶出研讨者发明力与想像力的质量。”(黑体为原作者所加,p.27)。往常格罗腾迪克自己的声音,体往常他的著作里,也彷彿得透过空无,才干传到我们的耳中。高龄七十六岁【编注:本文写作时间为 2004 年】的他,住在法国南部一处偏僻的小村落里,曾经遁世隐居十余年。 1965 年左右的格罗腾迪克 依据密西根大学巴斯(Hyman Bass)的见地,格罗腾迪克的数学观念,以“宇宙般的广度”改动了数学的风貌。他的观念直接被数学所吸收,致使于往常的数学新手很难再想像这个范畴以前的容貌。格罗腾迪克留下最深化印记的范畴是代数几何,他强调发现数学对象之间的关系,能够做为了解数学对象的一种途径。格罗腾迪克具有极强、以至可说是超凡绝世的笼统才干,让他能够从十分广义的脉络里看待问题,而且他能很灵活精确的运用这份笼统才干。事实上,从二十世纪中叶起,整个代数几何范畴愈来愈笼统和普遍的研讨倾向,大部分得归诸格罗腾迪克的影响。但是,单纯为普遍而普遍,可能延展出瘠薄与乏味数学理论的风险,格罗腾迪克却从未涉身其中。 格罗腾迪克在二次大战时的早年生活,充溢紊乱和创伤,他也缺乏良好的教育背景。格罗腾迪克如何从这样困蹇缺乏的起点脱颖而出,将自己淬炼成当世顶尖数学家的进程,是一个充溢戏剧性的故事,就好像他在 1970 年时忽然决议分开数学界一样,当时他的巨大成就正开花结果,而其特殊人格也深深影响这个社群。 早年生活
普林斯顿高等研讨院的伯瑞尔(Armand Borel)于 2003 年 8 月过世,享年 80 岁。他回想第一次见到格罗腾迪克,是在 1949 年 11 月巴黎的布巴基(Bourbaki)讨论班。当时在演讲空档,20 几岁的伯瑞尔正与法国数学界领导人物 45 岁的厄瑞斯曼(Charles Ehresmann)聊天。伯瑞尔回想说,当时有一个年轻人大步走近厄瑞斯曼,没有任何应酬,就开门见山问说:“你是拓扑群的专家吗?”厄瑞斯曼不想显得狂妄,回答说是的,他了解一点拓扑群。但是这位年轻人坚持:“但我需求真正的专家!”这就是当时的格罗腾迪克,21 岁的年岁,鲁直而强势,固然不完整无礼,但是对社交仪节却懵然无知。伯瑞尔还记得格罗腾迪克当时的疑问:“是不是一切的部分拓扑群都是大域拓扑群的芽(germ)?”结果伯瑞尔恰巧知道一个反例。格罗腾迪克的疑问显现,当时他曾经以十分普遍的方式在思索数学。 1940 年代末的巴黎时光,是格罗腾迪克真正接触数学研讨的开端。在此之前,从他的人生事历(至少就我们所知),并没有什么线索,看得出他一定将成为数学界的支配人物。格罗腾迪克的家世背景或童年时期的细节,许多都还未知,已知的部分也很粗略。德国明斯特大学的萨尔劳(Winfried Scharlau)正在撰写格罗腾迪克的传记,并且曾经认真研讨过格罗腾迪克这段时期的阅历。底下格罗腾迪克生平的许多资讯,都来自我与萨尔劳的访谈,以及他为了撰写这本传记所搜集的资料[Sch]。 格罗腾迪克父亲的姓名可能是亚历山大沙比罗(Alexander Shapiro),1889 年 10 月 11 日,出生于乌克兰诺弗兹博克夫(Novozybkov)的一个犹太家庭。他是一位无政府主义者,曾经参与二十世纪初沙皇时期的许多起义事情。十七岁被捕后,他设法躲过死刑,却又多次的逃逸和被捕,最后总共在狱中待了约十年。由于同名同姓,格罗腾迪克的父亲经常被误以为是这些事情中,另一个更知名的激进份子。里德(John Reed)的《震动世界的十天》曾经描写后者的事迹,他最后移居纽约,死于 1946 年,当时格罗腾迪克的父亲曾经死了四年。另一桩值得留意的事情是,格罗腾迪克的父亲是一个独臂人。曾于 1970 年代与格罗腾迪克同居并生下一子的班碧(Justine Bumby)说,格罗腾迪克的父亲为了逃避警察追捕,在试图自杀时失去这条手臂。或许格罗腾迪克自己也无意之间让有两位沙比罗的事实愈加混杂,举例来说,IHS 的卡迪耶(Pierre Cartier)曾在[cartier2]中提到,格罗腾迪克坚持里德书里有一个角色是他的父亲。 格罗腾迪克的父亲沙比罗,1922 年 1921 年,沙比罗分开俄罗斯,终生没有任何国籍。为了躲藏他的政治过往,他取得一份名为亚历山大塔纳洛夫(Alexander Tanaroff)的身份证明,余生都以此为名。他曾经待过法国、德国、比利时,并且和无政府主义者以及其他反动团体常有过往。1920 年代中期,他在柏林的激进份子圈认识了格罗腾迪克的母亲——韩卡(Johanna(Hanka) Grothendieck)。韩卡 1900 年 8 月 21 日出生于汉堡,家中是路德教派的中产家庭。为了对立传统的教养,她前往当时前卫文化与反动社会运动温床的柏林。韩卡和沙比罗都想成为作家,沙比罗终生未发表只字片语,不外韩卡倒是写过一些报纸的文章,特别在 1920 到 1922 年间,她曾为一份名为《刑枷》(Der Pranger)的左翼周报写稿,那是为在汉堡社会边沿生存的娼妓阶级伸张权益的报纸。更久之后,韩卡在 1940 年代晚期写过一本自传体的小说《一个女人》(Eine Frau),但从未出版。 格罗腾迪克的母亲韩卡,1917 年 沙比罗大半生都是一位街头摄影师,这份工作让他能够自立更生,避免堕入有违他无政府信仰的雇佣关系。他和韩卡都结过婚,各有个前婚小孩,她的是女儿,他的则是儿子。格罗腾迪克在 1928 年 3 月 28 日生于柏林,家中除了他的父母,还有韩卡前次婚姻的女儿麦蒂(Maidi),她大格罗腾迪克四岁。家人以及格罗腾迪克后来的接近朋友都称他为舒利克(Schrik),他父亲的小名则是沙夏(Sascha)。固然格罗腾迪克从未见过他的异母哥哥,但他将自己 1980 年代的手稿《寻堆》(A La Poursuite des Champs)献给哥哥。 1933 年纳粹掌权后,沙比罗从柏林逃亡到巴黎,该年十二月,韩卡决议跟随丈夫,因而将儿子托付给汉堡左近布兰肯奈西(Blankenese)的一个寄养家庭,女儿麦蒂则留在一个照顾残障儿童的机构,固然麦蒂并非残障(《 收割与收获》 pp.427-473)。寄养家庭的家长名叫亥东(Whihelm Heydorn),其精彩终身能够从他的传记《我只是一个人》(Nur Mensch Sein!)[Heydorn]上看出来。书中有一张格罗腾迪克 1934 年时的照片,而且简短的提到他。亥东曾经是路德教派的牧师,也当过军官。他后来分开教职,转任小学教员与Heilpraktiker(在今天可大约译成另类疗法治疗师)。1930 年,亥东树立一个具有理想颜色的政党——“人性党”(Menschheitspartei),被纳粹视为非法政党。亥东自己有四个小孩,而且在这个日后招致二次大战的紊乱时期里,他和太太达格玛(Dagmar)依循基督教的理念,还另外收留了好几位被迫和家人分开的寄养小孩。 童年的格罗腾迪克 格罗腾迪克从五岁到 11 岁,在亥东家待了五年,而且还上过学。在达格玛的回想录中,提到小格罗腾迪克的个性十分随性、绝对诚实,但缺乏自制。在这段时期,格罗腾迪克很少收到母亲的来信,父亲更无只字片语。固然韩卡在汉堡还有亲戚,但是历来没有人探望过她的儿子。格罗腾迪克在《收割与收获》(p.473)中提到,和父母的遽然分别构成他莫大的创伤。萨尔劳狐疑小格罗腾迪克在亥东家里过得并不高兴,由于他从小生长在无政府主义家长树立的自由家庭,亥东家比较严厉的氛围或许会构成双方的摩擦。事实上,格罗腾迪克和亥东家左近的几个家庭反而比较接近,即便成年之后,他还终年与他们通讯。格罗腾迪克也曾给亥东家写过信,并曾经造访汉堡数次,最近的一次是在 1980 年代中期。 1939 年的战争火烧眉毛,亥东家遭到的政治压力愈来愈大,他们无法再收留寄养小孩。格罗腾迪克的情形更省事,由于他长得就像犹太人。当时他父母的确切地址不详,但达格玛写信给汉堡的法国领事馆,设法将音讯传达给在巴黎的沙比罗,以及在尼姆(Nmes)的韩卡。一旦联络上后,11 岁的格罗腾迪克立刻被送上从汉堡开往巴黎的火车。他在 1939 年五月他和父母重聚,在战争之前共度了一段很短的时光。 我们并不很分明格罗腾迪克留在汉堡的期间,他父母的工作是什么。不外他们在政治上依旧很生动,曾经一同到西班牙参与西班牙内战,并在佛朗哥获胜后,随众人一同逃回法国。由于他们的政治活动,韩卡和她先生在法国被视为风险的外国人。格罗腾迪克和他的父母重聚后不久,沙比罗就被送到勒凡内(Le Vernet)的集中营,这是当时法国状况最粗劣的集中营,他可能从此就没再见过妻儿。1942 年八月,沙比罗被法国当局递解到奥斯威辛(Auschwitz)集中营,并在该地遇害。至于格罗腾迪克的姊姊麦蒂在这段时间的状况不明,不外她最后嫁给一位美国军人,移民美国,几年前才过世。 1940 年,韩卡和儿子被送入曼德(Mende)左近的里奥克罗(Lieucros)集中营,就集中营而言,这里算是状况比较好的,他们允许格罗腾迪克到曼德上中学。固然如此,这依旧是一段精神被剥夺又不肯定的岁月。格罗腾迪克曾经通知班碧,他和母亲有时会遭到法国人的漠然逃避,他们不知道韩卡也反纳粹。格罗腾迪克曾经逃离集中营,想要刺杀希特勒,不外很快就被抓回去。班碧说:“这很可能要了他的命。”格罗腾迪克身强体壮,也是一名拳击好手,在这段时遭欺凌的时光里十分有用。 两年后,这对母子被迫分别。韩卡被送到另一个集中营,她的儿子最后流落到法国的尚邦(Le Chambon-sur-Lignon)。当地的新教牧师楚洛克密(André Trocmé)将这个山区度假小镇,变成抵御纳粹的顽强据点,成为维护犹太人与其他战乱受害者的避风港[Hallie]。格罗腾迪克住在当地一个瑞士机构支持的儿童之家,他就读于当地教育年轻人的赛佛诺(Cévenol)中学,并且经过法国高中会考(baccalauréat)。固然尚邦人的英雄行径保障了逃亡者的保险,但是当时的生活依旧不很稳定。在《收割与收获》中,格罗腾迪克提到由于当局定期搜捕犹太人,他和同窗常要分散到森林中躲几天。 格罗腾迪克也谈过他在曼德和尚邦的学校生活。固然他的年轻岁月颠沛流离,生活困顿,格罗腾迪克显然从小就有激烈的内在方向感。在数学课中他从不依赖教员,学会自行分辨深浅与对错。他觉得课本中的习题太多重复,呈现的方式又孤立于其真正的意义。格罗腾迪克写道:“这是书本的问题,不是我的问题”。不外一旦有个问题攫取他的留意,他还是会完整投入,废寝忘食。(《收割与收获》 p.3) 从蒙贝里耶、巴黎到南锡
1945 年五月,欧洲的战事终了了,当时格罗腾迪克 17 岁。他和母亲搬到麦沙革(Maisargues),这是蒙贝里耶(Montpellier)城外产酒区的一处小村庄。格罗腾迪克进入蒙贝里耶大学就读,两人靠着大学奖学金以及葡萄歉收期的时节零工来维生,韩卡也有一份打扫的工作。格罗腾迪克上课的时间愈来愈短,由于他发现教员总是照本宣科,重复教科书上的说法。依据丢东涅(Jean Dieudonné)的说法,当时的蒙贝里耶“在数学教学上,是法国最落后的大学之一。”[D1] 在这个沉闷的环境里,格罗腾迪克三年的蒙贝里耶大学生活,都花在填补高中教科书的缺陷上,想要补足长度、面积、体积的恰当定义。基本上,他一个人重建了整个测度论与勒贝格积分的概念。这段故事是格罗腾迪克和爱因斯坦的众多相似处之一。爱因斯坦年轻时,也曾自行延展统计物理的概念,后来他才知道吉布斯(Josiah Gibbs)曾经先发现了。 1948 年,格罗腾迪克拿到蒙贝里耶大学的理学士学位,随后前往法国数学的中心——巴黎。1995 年,在一篇谈论格罗腾迪克的法国杂志文章中[Ikonicoff],一位名为马尼(Andre Magnier)的法国教育官员回想,当时格罗腾迪克申请前往巴黎的奖学金的情形。马尼请求格罗腾迪克描画他在蒙贝里耶的研讨课题。杂志引述马尼的话说:“我十分震惊。结果原本二十分钟的会面,他用了两个钟头,不停跟我阐明他如何用‘手边仅有的工具’,重建他人花几十年延展的理论,他展示了特殊的聪明。”马尼弥补说:“格罗腾迪克除了给人杰出青年的印象外,也显显露由于受苦与匮乏而较不均衡的一面。”马尼随即引荐格罗腾迪克取得奖学金。 格罗腾迪克的微积分教员舒拉(Soula)引荐格罗腾迪克前往巴黎,并和他的教员卡当联络。至于这位“卡当”,是当时年近八十的埃里卡当(lie Cartan),还是他四十几岁的儿子昂利卡当(Henri Cartan),格罗腾迪克并不分明(《收割与收获》 p.19)。当他 1948 年秋天抵达巴黎后,格罗腾迪克向数学家解释他在蒙贝里耶的研讨。正如舒拉曾经通知他的,这些都是已知的结果,但是格罗腾迪克并不失望。事实上这段年轻孤立的努力经验,对他成为数学家似乎颇为关键。在《收割与收获》中,格罗腾迪克谈起这段期间说:“不知不觉的,我从孤独中曾经学习到成为数学家的基本要素,这不是任何教员能够教出来的。没有人通知我,但我就是‘全心’知道自己是数学家,是‘做’数学的人,就和‘做’爱的‘做’意义十足相当。”(《收割与收获》 p.5) 格罗腾迪克开端参与昂利卡当在法国高等师范学院的著名讨论班。这个讨论班承袭了一种格罗腾迪克日后也将衷心奉行的方式,参与者在全年课程中检视一个主题,然后再将课程内容有系统的整理出版。1948-1949 年的主题是单体(simplicial)代数拓扑和层论(sheaf theory),这是当时最前沿的课题,在法国还没有其他中央能够学习到[D1]。事实上,当时离勒黑(Jean Leray)树立层的概念还没多久。在卡当讨论班,格罗腾迪克初次认识了许多当代最出色的数学家,包含薛瓦雷(Claude Chevalley)、德沙特(Jean Delsarte)、丢东涅、古德蒙(Roger Godement)、史瓦茨(Laurent Schwartz)、韦伊(André Weil),其中也包含了卡当的学生塞尔(Jean-Pierre Serre)。另外,除了卡当讨论班,格罗腾迪克还上了勒黑在法兰西学院开的课程,内容是当时很新颖的部分凸空间(locally convex space)。 昂利卡当既是几何学家埃里卡当的儿子,自身又是出色的数学家,再加上身任高等师范学院的教授,他无疑是巴黎菁英数学家圈的中心人物。昂利卡当也是战后愿意向德国同僚伸出友谊之手的少数法国数学家,固然他对战争的恐惧其实有着切身之痛,由于他参与抵御运动的弟弟,被纳粹拘捕斩首。昂利卡当和当时的许多顶尖数学家享有共同的背景,就像厄瑞斯曼、勒黑、薛瓦雷、德沙特、丢东涅、韦伊一样,都是“师范人”,他们都毕业于法国高等师范学院,这是法国高等教育中名望最高的学府。 在卡当讨论班中,格罗腾迪克就像是一个局外人。他说德语却住在战后的法国,而且他贫乏的教育背景和这群人构成尖利的对比。不外在《收割与收获》中,格罗腾迪克说,他在这种环境中并没有觉得像陌生人,并对他取得的“好意欢送”充溢暖和的回想(pp.19-20)。他直言无讳的个性很引人侧目,在塞夫(Jean Cerf)为卡当百年大寿写的留念文章中,他回想当时的卡当讨论班里,“有一个陌生人(就是格罗腾迪克)从教室后方和卡当自由交谈,就像是同辈一样。”[Cerf] 格罗腾迪克写说他能够恣意提问,但也察觉自己必须辛劳学习的东西,旁人却似乎瞬间就能控制运用,“似乎他们在摇篮中就曾经知道了似的。”(《收割与收获》,p.6)可能部分出自这个缘由,在卡当和韦伊的忠告下,格罗腾迪克 1949 年 10 月分开了巴黎的菁英圈,前往步伐比较迟缓的南锡(Nancy)。另外,依据丢东涅的说法,格罗腾迪克当时对拓扑向量空间的兴味多过代数几何,因而前往南锡是再自然不外了。[D1] 南锡的学徒生活
1940 年代晚期,南锡是法国最优秀的数学中心之一。事实上,虚拟数学家“布巴基”(Nicolas Bourbaki)听说出身于“南加哥”(Nancago)大学,这个称号的组合,一方面表示韦伊的芝加哥(Chicago)时期,同时也对应到布巴基其他成员所在的南锡大学。这些南锡的教授包含了德沙特、古德蒙、丢东涅与史瓦茨,格罗腾迪克的南锡同窗则有里翁(Jacques-Louis Lions)和马卢格宏日(Bernard Malgrange),他们和格罗腾迪克一样都是史瓦茨的学生。另外还有 22 岁来自巴西的黎宾波因(Paulo Ribenboim),他和格罗腾迪克简直同时抵达南锡。 黎宾波因往常是加拿大安大约女王大学的退休教授,依据他的说法,当时南锡的研讨步伐不像巴黎那么激昂,教授也能够有更多时间和学生相处。黎宾波因说他的印象中,格罗腾迪克是由于缺乏背景,无法跟上请求甚高的卡当讨论班,才来到南锡。这并不是格罗腾迪克自己说的,黎宾波因评论:“他不是会招认自己不懂的家伙!” 不外,格罗腾迪克杰出的天赋十分明显,黎宾波因记得自己把他当作理想的模范。固然格罗腾迪克的心情可能十分激切,言行有时更是粗鲁。黎宾波因回想说:“但他不是苛刻,而是对自己和他人都请求甚高。”格罗腾迪克身边简直没有书,比起透过阅读学习,他宁愿自己把理论重建起来。同时,格罗腾迪克工作十分勤奋,黎宾波因记得史瓦茨有次通知他,你看起来像是仁慈又均衡的年轻人,你应该跟格罗腾迪克交交朋友,试着不要让他只知道用功。 当时丢东涅和史瓦茨在南锡掌管拓扑向量空间的讨论班。丢东涅在[D1]里解释说,当时巴拿赫空间(Banach space)与其对偶空间的理论曾经很分明,但是部分凸空间则是一个新概念,关于其对偶性的普通理论还付之阙如。丢东涅和史瓦茨在这个范畴的研讨上,遇到一系列的问题,他们决议把这些难题转交给格罗腾迪克。结果让他们大吃一惊,由于几个月之后,格罗腾迪克就将一切问题都处置了,还有余裕去继续研讨其他泛函剖析的问题。丢东涅写着:“1953 年,到了要授予他博士学位的时分,我们必须从他的六篇论文当选择一篇,他的每篇文章都足以当做一篇好博士论文。”结果被选出来的博士论文是《拓扑张量积与核空间》(Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires),这篇论文初次显现了格罗腾迪克普通性思索的迹象,这是他全部作品的特征。核空间的概念初次出往常这篇论文中,日后有着普遍的应用。1954年,史瓦茨在巴黎一次名为“格罗腾迪克张量积”(Les produits tensoriels d' après Grothendieck)的讨论班中引见了格罗腾迪克的新结果[Schwartz]。至于格罗腾迪克的论文,则于 1955 年在美国数学学会的《纪要丛书》(Memoirs)出版,到了 1990 年,曾经重印了七次。[Gthesis] 格罗腾迪克的泛函剖析研讨“真的十分出色。”美国加州大学洛杉矶分校的艾夫罗斯(Edward Effros)说:“他或许是第一位认识到,二次大战后才健壮的代数/范畴措施,能够运用到这个十合成析性的泛函分支的人。”格罗腾迪克在某种意义上是抢先于他的时期。艾夫罗斯特别指出,主流巴拿赫空间理论花了至少 15 年的时间,才充沛吸收格罗腾迪克的研讨内容,部分缘由是大家对他较为代数的观念有所踌躇。不外艾夫罗斯说,格罗腾迪克的影响在近年来开端发酵,这是由于格罗腾迪克的范畴论观念十分合适讨论巴拿赫空间的“量子化”。 固然格罗腾迪克的数学研讨蓄势待发,前景颇为看好,但他的私人生活并不安定。在南锡,他和母亲住在一同,黎宾波因记得她常常由于结核病发而卧病在床,这是她在集中营时感染的疾病。大约就是在这个时分,格罗腾迪克的母亲正撰写她的自传性小说《一个女人》。格罗腾迪克与母亲租住公寓的房东是一个年岁比他稍长的女人,两人发作关系,并生下格罗腾迪克的第一个小孩,这个男孩名叫瑟吉(Serge),大半都由母亲抚育。即便格罗腾迪克曾经拿到博士学位,他想找到终身职的希望依旧很苍茫,由于格罗腾迪克没有任何国籍,在当时的法国,非公民想找到终身职十分艰难。但想取得法国国籍,又必须服兵役,这是格罗腾迪克绝对排斥的事情。1950 年后,格罗腾迪克透过法国国度科学研讨中心(CNRS)找到一份工作,不外这个工作比较像是奖助金,而不是终身职。有段时间,格罗腾迪克以至还思索学习木工来赚钱。(《收割与收获》 p.1246 注) 1952 年,史瓦茨访问巴西,通知当地人他有一位聪颖的年轻学生,在法国找不到工作。于是巴西圣保罗大学提供格罗腾迪克访问教授职,格罗腾迪克在 1953 到 1954 年间赴任。美国罗格斯大学的退休教授巴洛斯奈托(José Barros-Neto),当时在圣保罗大学还是学生,依据他的说法,格罗腾迪克当时还做了特别的布置,好让他在秋季能够回到巴黎参与讨论班。巴西数学社群的第二外国语是法语,因而格罗腾迪克教书以及和同事交谈都没有问题。格罗腾迪克的圣保罗之行,其实是法国和巴西科学协作传统的一环。除了史瓦茨之外,韦伊、丢东涅,以及德沙特都曾经在 1940 年代或 1950 年代访问巴西。例如韦伊曾经在 1945 年一月访问圣保罗,直到 1947 年秋季才分开,前往芝加哥大学。法国和巴西的数学联合直到今天依旧持续。里约热内卢的巴西地道与应用数学院(IMPA)有一份法巴协作协议,让许多法国数学家能够到该院访问。 在《收割与收获》中,格罗腾迪克将 1954 年称“疲累的一年”(p.163)。他一整年都没措施在拓扑向量空间的迫近问题上取得任何进展,这个问题要在大约二十年后才被处置,而且措施和格罗腾迪克试图采取的措施不一样。格罗腾迪克写道,这是“我终身中,研讨数学变得如此繁重的独一时辰。”他从这个波折学到一个经验,“别将鸡蛋摆在一个篮子里。”在脑袋中要多放几个数学问题,假如有个问题冥顽不灵,还有别的问题能够做。 圣保罗大学的教授宏尼戈(Chaim Honig)在格罗腾迪克来访时,还是数学系的研讨助理,他们后来成为好友。宏尼戈说格罗腾迪克过的简直是斯巴达式的孤独生活,仅靠牛奶和香蕉为食,整天浸淫在数学之中。宏尼戈曾经问格罗腾迪克为什么要做数学,格罗腾迪克回答说,自己特别酷爱的是数学和钢琴,他选择数学是由于他以为这样营生比较容易。由于格罗腾迪克的数学天赋极为明显,宏尼戈说:“知道他曾经在数学和音乐间踌躇过,我还真是吃了一惊。”格罗腾迪克原本计划与当时在里约热内卢的纳区宾(Leopoldo Nachbin)合写一本拓扑向量空间的书,这个计划后来胎死腹中。不外,格罗腾迪克在圣保罗大学曾经教过拓扑向量空间,并且后来写成讲义,由圣保罗大学出版。巴洛斯奈托当时是课上的学生,他为这个讲义写了引见的章节,并弥补了些基本的先备学问。巴洛斯奈托记得格罗腾迪克在巴西时,就曾经思索要转换范畴,他说格罗腾迪克“十分十分有野心,你能够感遭到他激烈的决计,他要做的是基础的、重要的、基本的研讨。” 明星崛起
任职于法国格赫诺布尔大学的马卢格宏日回想说,当格罗腾迪克写终了业论文后,他就断言格罗腾迪克将不再对拓扑向量空间感兴味。马卢格宏日说:“他通知我再没有什么能够做,这个主题曾经死了。”在当时,博士生还得准备不用有原创观念,但必须和主论文无涉的“第二论文”,藉以展示学生对另一个数学范畴的了解深度。格罗腾迪克的第二论文主题是层论,这份研讨埋下了他对代数几何感兴味的种子,日后成为他最巨大的研讨范畴。格罗腾迪克的博士论文口试地点在巴黎,马卢格宏日还记得口试后,他和格罗腾迪克、昂利卡当一同搭计程车到史瓦茨家吃饭。他们之所以搭计程车,是由于马卢格宏日滑雪时把腿摔断了。马卢格宏日回想说:“在车上,卡当向格罗腾迪克阐明,他有些层论的东西说错了。” 分开巴西后,1955 年格罗腾迪克待在美国堪萨斯大学,这或许是出自阿隆沙因(Nachman Aronszajn)的约请[Corr]。在堪萨斯,格罗腾迪克沉浸于同调代数的研讨,在那里他写下了日后被专家私自昵称为“东北论文”的《关于同调代数的几个问题》(Sur quelques points d' algèbre homologique),这是由于该论文发表于日本的《东北数学杂志》[To]。这篇论文是同调代数的经典之作,扩展了昂利卡当和艾林伯格的模(module)观念。此外,格罗腾迪克在堪萨斯时还写下《具结构层的纤维空间的普通理论》(A general theory of fiber spaces with structure sheaf),这是给美国国科会的讲演。在这篇讲演里,格罗腾迪克延展了他非交流上同调理论的初步概念,日后他将在代数几何的脉络下再回到这个主题。 就在这段期间,格罗腾迪克开端与法兰西学院的塞尔通讯,他在巴黎时曾经见过塞尔,后来又在南锡碰面。他们部分信件的结集在 2001 年以原来的法文出版,2003 年又出了英法对照的版本[Corr]。这是一段耐久又丰饶的互动的开端,这些信函显现出这两位十分不同的数学家,有着深沉又充溢生机的联络。格罗腾迪克具有绝尘逸世的想像力,而塞尔总是能以他尖锐的了解力与广博的学问,将格罗腾迪克拉回到理想世界来。在信件中,有时格罗腾迪克会显显露惊人的无知,例如他曾经问过塞尔,黎曼 ζ 函数能否有无量多个零根([Corr], p.204)。塞尔回想:“他对古典代数几何的学问基本上等于零,我稍微多知道一些,但也不很多,我能帮就帮。不外反正未解的问题那么多,其实也没有关系。”格罗腾迪克不是持续留意最新文献的人,大部分时分他都得依赖塞尔通知他最新的进展。在《收割与收获》中格罗腾迪克写道,除了他自学的部分,他绝大部分的几何学问,都是从塞尔那儿学到的(pp.555-556)。不外塞尔并不是单纯教格罗腾迪克新知,而是先充沛消化新的概念后,再以特别能让格罗腾迪克信服的方式进行讨论。格罗腾迪克称塞尔是一枚“雷管”,提供的火花足以点燃引线,引爆出形形色色的概念。 事实上,格罗腾迪克将他研讨的许多中心主题上溯到塞尔的影响。例如在 1955 年左右,塞尔从上同调理论的脉络向格罗腾迪克描画韦伊猜测。这在韦伊原本的猜测表述中,只是躲藏的脉络而已,但这样的说法却能诱使格罗腾迪克上钩(《收割与收获》 p.840)。另外,透过塞尔对韦伊猜测的“凯勒”(Khlerian)类比,也启示格罗腾迪克提出所谓的“规范猜测”(Standard Conjecture),这是一个更普遍的猜测,而韦伊猜测则是它的推论。(《收割与收获》 p.210) 1956 年,格罗腾迪克从堪萨斯回到法国,他取得法国国度科学研讨中心的职位,大部分时间都留在巴黎。他和塞尔继续通讯,也定期和他通电话。这是格罗腾迪克更深化研讨拓扑与代数几何的时分,伯瑞尔回想说:“格罗腾迪克的灵思源源不绝,我很肯定他一定会做出第一流的工作,但是最后呈现的成果还是远超越我的等候。那就是他自己的黎曼/罗赫定理(Riemann-Roch Theorem),这是一个绝妙的定理,数学的巨匠之作。” 黎曼/罗赫定理的古典方式完成于 19 世纪中叶。假如在紧致黎曼面上给定有限个点,思索以这些点为极点(pole)且不超出指定阶数的半纯(meromorphic)函数所成的空间,这个定理想讨论的是这个空间的维度,答案就是黎曼/罗赫公式,其中此维度能够用黎曼面的不变量来表示,于是树立了曲面的剖析性质与拓扑性质的深化连结。1953 年,德国数学家贺茨布鲁赫(Friedrich Hirzebruch)更往前踏出一大步,将黎曼/罗赫定理从黎曼面推行到高维复数射影非奇解形(projective nonsingular varieties)【译注:variety 旧译为“曲体”、大陆译为“簇”,现译为“解形”,取其为多项式之解所构成的形体】的状况。数学界为这个精心力作兴奋不已,由于这个结果似乎是这个课题的最终解答。 普林斯顿大学的卡兹(Nicholas Katz)说:“结果格罗腾迪克走过来说,‘不,黎曼/罗赫定理不是代数解形的定理,而是关于两解形之间映射的定理。’这是一个崭新的基本观念定理的叙说方式整个改动了。”当时范畴论(category theory)的基本哲学——该研讨的是对象之间的箭头,而不是对象自身——正方兴未艾。伯瑞尔说:“重点是[格罗腾迪克]把这个哲学,应用到十分艰难的数学范畴。它的确具有范畴和函子(functor)的精神,但历来没有人想过能够在这么艰难的课题上运用它。假如有人目睹过这种叙说方式并且能了解,那么或许还有他人也能够证明出来,问题是这种叙说自身,曾经超前其他人十年之久。” 格罗腾迪克与阿提雅 1959 年瓦许尼泽(Gerard Washnitzer)也独立证明出这个定理[Washnitzer],它还能够推行到任何基本域的真润滑代数解形。而贺茨布鲁赫/黎曼/罗赫定理则变成这个定理的特殊状况。黎曼/罗赫定理另一个深远的推行呈现于 1963 年,乃是由阿提雅(Michael Atiyah)和辛格(Isadore Singer)证明的阿提雅/辛格指标定理。在格罗腾迪克的证明过程里,他引入往常称为格罗腾迪克群的概念,实质上提供了一种新拓扑不变量。格罗腾迪克自己称这个群为 K 群,成为促进阿提雅和贺茨布鲁赫延展拓扑 K 理论的起点。然后,拓扑 K 理论又启示了代数 K 理论的观念,尔后这两个范畴都蓬勃延展至今。 当时贺茨布鲁赫在德国波昂大学启动了所谓的 Arbeitstagung(字面上就是“工作会议”的意义),四十余年来都是数学前沿研讨的论坛。1957 年七月第一次的论坛,就是由格罗腾迪克讲演他的黎曼/罗赫研讨。不外由于某个令人猎奇的转机缘由,这个结果最后并不是用他的名字发表,而是出往常塞尔与伯瑞尔的论文中[BS](证明后来也出往常 1966-1967 年的《代数几何论丛》(Séminaire de Géometrie Algébrique du Bois Marie,简称 SGA)的第六册中) 。1957 年秋季,当塞尔访问美国高等研讨院时,收到格罗腾迪克一封概述其证明的信(1957 年十一月一日信函[Corr]),于是塞尔和伯瑞尔组织了一个了解这个证明的讨论班。由于格罗腾迪克忙于许多事务,他倡议这些朋友们撰写并出版讨论班的纪录。不外伯瑞尔猜测,格罗腾迪克不想自己写下结果还有别的缘由,“格罗腾迪克的主要哲学思想是,数学应该要拆解成一步步自然的小步骤,做不到这一点,就表示其中还有你不了解的中央但是他证明黎曼/罗赫定理时,用到一个取巧的措施(une astuce)。所以他自己不称心,不想发表他还有很多别的事情要处置,所以没兴味写下这个技巧。” 1961年 Arbeitstagung 中的一个晚上,格罗腾迪克在贺茨布鲁赫家中 尔后,格罗腾迪克持续为不同的数学主题提出反动性的观念。卡兹说:“这样的情形不时发作。当他遇到某个他人深思过的问题,包含某些上百年的问题他会完整转变他人原先所认定的主要题旨。”格罗腾迪克不只需处置悬宕未解的问题,他还重构了他人所提出的问题。 开启新世界
依据宏尼戈的回想,格罗腾迪克的母亲至少有一段时间和他同住在巴西,固然宏尼戈说自己并没有见过她。至于她能否曾和格罗腾迪克同住在堪萨斯则不很分明。当格罗腾迪克 1965 年回到法国时,他们可能曾经没有继续住在一同。1957 年十一月,在一封从巴黎写给塞尔的信里,格罗腾迪克提到他能否能够租下塞尔正准备搬出的巴黎公寓。格罗腾迪克解释说:“我对房子感兴味是为了我母亲,她在白鸽林(Bois-Colombes)住得并不高兴,她十分孤立。”[Corr]。事实上,格罗腾迪克的母亲在该年年底就过世了。 格罗腾迪克的朋友和同事都说,当他谈到父母时总是充溢赞扬,简直到了奉承的水平。在《收割与收获》中,格罗腾迪克对父母也流显露深沉而基本的爱。多年以来,格罗腾迪克在研讨室里,总挂着一幅令人印象深化的父亲肖像,这是与他父亲同时被拘留在勒凡内集中营的友人画的。按卡迪耶的描画,画中的男人剃着大光头,眼中闪烁着“热切的神色”[Cartier1]。格罗腾迪克自己也长期理着光头。另外依据黎宾波因的说法,韩卡对她聪颖的小孩十分自豪,而格罗腾迪克也回报以十分浓厚的孺慕之情。 格罗腾迪克与妻子米荷莉和儿子马修,1965 年 5 月,巴黎 在母亲死后,格罗腾迪克阅历了一段心灵深思的进程,中止了一切的数学活动,而且还思索成为作家。几个月之后,他决议重返数学,完成他曾经开端延展的一些想法。当时是 1958 年,依格罗腾迪克的说法,这“可能是我数学生活里收获最丰厚的一年。”(《收割与收获》 p.24)在这段期间,他和一位名叫米荷莉(Mireille)的女人同居,并在几年后和她结婚,生下三个小孩,乔安娜(Johanna)、马修(Mathieu)和亚历山德(Alexandre)。米荷莉和格罗腾迪克的母亲很接近,而且依据好几位认识他们的人士,米荷莉的年岁比格罗腾迪克年长很多。 格罗腾迪克与泰特太太凯琳,1964 年,巴黎 哈佛大学退休教授泰特(John Tate)与他当时的太太凯琳(Karin Tate),在 1957-1958 年期间在巴黎访问,初次和格罗腾迪克见面。格罗腾迪克完整没有显现他描画母亲所具有的狂妄。“他真的很友善,同时很天真,很孩子气。许多数学家像小孩子,多少都不懂世事,但格罗腾迪克却是箇中之尤。”泰特回想说:“格罗腾迪克看起来很单纯,不晓世故,不矫情,也不虚假。他的思虑清澈,解释事情很有耐性,看不出任何自卑感。他没有遭到文化、权益、争胜之见的污染。”凯琳记得格罗腾迪克很有欢乐娱人的才干,很吸收人,喜欢笑。但是有时心情会太过激动,由于他看待事情非黑即白,没有灰色地带。而且格罗腾迪克很诚实,她说:“和他在一同,你总是能安心自处。他从不伪装,人很直接。”凯琳和她的弟弟麻省理工学院的迈克尔阿廷(Michael Artin),都看出格罗腾迪克的性格和他们父亲艾米尔阿廷(Emil Artin)颇有相似之处。 凯琳记得格罗腾迪克有“令人难以置信的理想主义倾向”。例如,格罗腾迪克的屋里从不摆地毯,由于他以为地毯只是装饰用的奢侈品。她也记得格罗腾迪克脚上衣着轮胎皮製的凉鞋,“他觉得这十分棒,这双鞋子是他所敬重事物的意味——充沛应用手边之物。”但由于格罗腾迪克的理想主义,有时他也十分昧于理想。在 1958 年格罗腾迪克和米荷莉初次访问哈佛大学之前,他给她一本自己最喜欢的英文小说,好改进她自己贫乏的英文学问。这本小说居然是《白鲸记》(Moby Dick)。 新几何学的降生
1958 年八月,格罗腾迪克在英国艾丁堡国际数学家大会(ICM)中给大会演讲[Edin]。这个演讲以杰出的预见,描画了许多他接下来 12 年的研讨主题。很显然,他当时的目的是要证明韦伊所提出的知名猜测,这个猜测暗示了代数解形的离散世界与拓扑的连续世界之间,有着更深化的统一性。 在那个时期,代数几何正阅历快速的演化,许多未解的问题并不需求大量的背景学问。最开端,大家研讨的对象是复数解形。二十世纪初期,这个范畴的专家是意大利数学家,如卡斯特努沃(Guido Castelnuovo)、恩利奎斯(Federigo Enriques)与赛韦利(Francesco Severi)。固然他们延展了许多极具巧思的想法,但其中许多论点还缺乏严厉的证明。而在 1930 与 1940 年代,其他数学家如范德瓦尔登(Bartel L. van der Waerden)、韦伊、查利斯基(Oscar Zariski)则想研讨恣意体的代数解形,特别是对数论很重要的特征 p 体代数解形。不外由于义大利学派的代数几何论述不够严厉,因而数学家必须为这个范畴树立新基础,这就是韦伊在 1946 年的《代数几何之基础》(Foundations of Algebraic Geometry)[Weil1]书中所达成的。 韦伊的猜测呈现于他 1949 年的论文[Weil2]。基于来自数论的动机,韦伊研讨一类艾米尔阿廷在特殊状况曾经讨论过的 ζ 函数,之所以称为 ζ 函数是由于它的定义相似黎曼 ζ 函数。给定一在特征 p 有限体上定义之代数解形 V ,我们能够计算 V 上此体以及其有限体扩张之有理点数目,将这些数目合写入终身成函数,就是 V 的 ζ 函数。韦伊证明在曲线或普通阿贝尔解形(abelian variety)的状况时,此 ζ 函数满足三个性质:它是有理函数;它满足一泛函方程;其零点与极点具备特殊的方式,一旦引入恰当的变数变换,这个方式将对应到黎曼假说。而且韦伊还察看到,假如 V 是由一特征 0 代数解形 W 所同余 p 而得,则我们能够由 V 的 ζ 函数(表成有理函数)读出 W 的贝堤数(Betti number)。而韦伊猜测就是问上述事实是不是对普通射影非奇特代数解形都正确,特别贝堤数是不是真的都潜藏在 ζ 函数中。这个猜测连结了代数几何和拓扑,暗示当时正在拓扑空间延展的新工具如上同调理论,也答应以修正并应用到代数解形的状况。更由于和古典黎曼假说相似,韦伊猜测的第三部分有时被称为“同余黎曼假说”,这是韦伊猜测中最难证明的部分。 卡兹说:“当[韦伊]猜测一呈现,大家就很分明它一定会表演某种中心角色,一方面这些‘黑箱式’的叙说让人难以置信,另一方面,想要处置这个问题,看来显然需求延展出全新的工具,而且这项工具自身将具有惊人的价值。最结果真完整正确。”目前在高等研讨院的德利涅(Pierre Deligne)说,就是这个代数几何与拓扑之间猜测的连结吸收了格罗腾迪克,他喜欢“将伊的幻想转变成有能力的工具”的想法。 格罗腾迪克之所以对韦伊猜测感兴味,并不是由于它的名气,也不是由于他人以为它很艰难。事实上,格罗腾迪克一向对艰难问题的应战没有兴味。他感兴味的是那种指向更庞大的躲藏结构的问题。德利涅留意到:“他的目的是为这个问题寻觅或发明一个自然的栖息之所,这远比处置问题更让他感兴味。”这种见地,和当时另一个巨大数学家纳什(John Nash)正好构成对比。纳什在他的数学全盛时期,寻觅的是被他的同僚以为最重要与最富应战性的特定问题[Nasar]。密西根大学的巴斯说:“纳什就像奥运选手,他感兴味的是庞大的个人应战。”假如纳什是问题处置者的典型代表,那格罗腾迪克就是理论建构者的理想范例。巴斯说格罗腾迪克“关于数学的可能性有种全面性的观照。” 1958 年秋天格罗腾迪克第一次造访哈佛大学数学系时,泰特是哈佛的教授,而系主任则是查利斯基。当时格罗腾迪克运用新延展的上同调措施,重证了查利斯基最重要成果之一的连通性定理,这是查利斯基在 1940 年代的研讨。依据当时查利斯基的学生,往常布朗大学的曼弗德(David Mumford)的说法,查利斯基历来没有接受这个新措施,但他了解它的能力,并请求他的学生去接触,这正是他约请格罗腾迪克到哈佛的缘由。 曼弗德说,固然查利斯基和格罗腾迪克的数学家作风很不相同,但两人相处融洽。传说当查利斯基在证明卡住时,会在黑板上画一条自交的曲线图形,让他能重新厘清一些概念。“谣言说他在黑板的角落画图,然后擦掉,再回来继续他的代数计算。”曼弗德解释:“他必须藉由几何图形来厘清思绪,重新树立从几何到代数的连结。”格罗腾迪克永远不会这样做,他似乎历来不从实例开端,除非是十分简单、几近无聊的例子。而且除了同调图式之外,格罗腾迪克也绝少画图。 曼弗德回想说,格罗腾迪克第一次访问哈佛时,行前曾经和查利斯基联络。由于当时美国众院非美活动委员会的高潮期才刚过,想要取得美国签证的外国人,必须赌誓不会从事推翻美国政府的活动。格罗腾迪克通知查利斯基他拒绝赌誓。当他人通知他这样可能会入狱时,格罗腾迪克说只需学生能够来访,而且允许他阅读无碍,入狱他能够接受。 在格罗腾迪克的哈佛课堂里,曼弗德发现课程内容的笼统高度令人屏息震慑。有一次,他问格罗腾迪克某个引理要怎样证明,结果格罗腾迪克用一个十分笼统的论证来回答。曼弗德起先并不置信这种笼统论证能够证明这么细致的引理。“我分开后,想了好几天,发现这个论证真的很正确。”曼弗德回想说:“他比起我见过的任何人都更有才干,能够以惊人之姿一跃而入更高度的笼统世界他永远在寻觅形塑问题的各种措施,明显地剥除一切的东西,你基本不觉得还会剩下什么。但是就是有些东西还留下来,他就从近乎虚空之处找到真正的结构。” 英雄年代
1958 年六月,IHS 在旧巴黎大学一些资助者的会议中正式成立。兴办人莫特肯恩(Léon Motchane)是具有物理博士学位的商人,他希望能在法国树立一个独立的研讨机构,就像美国普林斯顿的高等研讨院一样。IHS 原初计划聚焦于三个范畴的基础研讨:数学、理论物理、人文科学措施。固然第三个范畴一直没有成形,但在十年之内,IHS 曾经成为数学和理论物理范畴的世界级尖端研讨中心,研讨员人数虽少但鹤立鸡群,还有十分生动的访问学者活动。 依据科学史家奥邦(David Aubin)的博士论文[Aubin],莫特肯恩是在 1958 年艾丁堡数学家大会中或更早之前,就压服丢东涅和格罗腾迪克出任将成立的 IHS 研讨员。卡迪耶在[Cartier2]中写着,莫特肯恩原先想要延聘的是丢东涅,而丢东涅以同时延聘格罗腾迪克为允许的条件。由于 IHS 从一开端就独立于国度运作,所以固然格罗腾迪克无国籍,聘用他并不会产生问题。这两位研讨员在 1959 年三月正式就职,格罗腾迪克的代数几何讨论班则从该年五月开端。1963 年十月,在 1958 年数学家大会取得菲尔兹奖的头撤(René Thom)也参与研讨员的阵容。至于 IHS 的理论物理组,在 1962 年聘任米歇尔(Louis Michel)为研讨员,之后是 1964 年的卢埃勒(David Ruelle)。于是在 1960 年代中期,莫特肯恩曾经为他的新研讨院汇合了一组出色的研讨人才。 在 1962 年之前,IHS 并没有永世的院址。当时的研讨室是向提耶赫基金会租用的,讨论班就在那里或者巴黎大学进行。奥邦文中也提到,IHS 的早期访问学者外特曼(Arthur Wightman)曾被请求在旅馆中工作。听说曾有访问学者提到图书馆馆藏缺乏,格罗腾迪克的回答却是“我们不读书,我们写书!”在初期,学院的活动的确聚焦在《IHS 数学集刊》(Publications mathématiques de l'IHS)的出版上,前几册就包含格罗腾迪克的《代数几何原理》(léments de Géométrie Algébrique,普通缩写为 EGA)。事实上,EGA 的起草比丢东涅和格罗腾迪克正式就职 IHS 研讨员还早半年,依据[Corr],那是在 1958 年的秋季。 新书引荐 EGA 的公认作者是格罗腾迪克,再“加上与丢东涅的协作”。格罗腾迪克先写下讲义和书稿,丢东涅再弥补细节与修饰。伯瑞尔解释说,格罗腾迪克对 EGA 有整体观念,而丢东涅则只能逐行了解。他说:“丢东涅将它呈现的很密实,”不外同时,“当然丢东涅的效率惊人,没有人能够边做这件事情,还能不损及自己的研讨。”关于当时想要踏入这个范畴的人,从 EGA 开端学习是令人怯步的应战。在今天,很少有人把这套书做为入门的书籍,往常曾经有更多比较简单的教科书能够选择。但是这些教科书的目的不同,不像 EGA 想要完备又有系统的解释研讨概形(scheme)时所需求的工具。往常任职于德国波昂普朗克数学研讨所的法亭斯(Gerd Faltings),当年在普林斯顿大学时就鼓舞他的博士生阅读 EGA。今日许多数学家依旧以为 EGA 是有用且全面的参考书。现任 IHS 院长的布居农(Jean-Pierre Bourguignon)说,EGA 往常每年的销量依旧超越 100 套。 格罗腾迪克的 EGA 写作计划范围庞大。在 1959 年八月给塞尔的信里,格罗腾迪克给出扼要的概述,其中包含基本群、范畴论、留数(residues)、对偶性、相交理论、韦伊上同调群,以及“顺利的话,再加进一点点同伦论(homotopy)。”格罗腾迪克很达观的写道:“除非遇到意外的艰难,或者我堕入困顿,不然这个 multiplodocus 应该在三年内能完成,最多四年。”(multiplodocus 是格罗腾迪克和塞尔常用的玩笑用语,表示很长的论文。)格罗腾迪克自鸣得意说:“这样我们就能够开端研讨代数几何了!”不外后来 EGA 由于篇幅指数性的长大而气消力竭,该书的第一章和第二章各占了《IHS 数学集刊》一整册的篇幅,第三章占两册,最后的第四章用了四册,全部合起来共有 1800 页。固然格罗腾迪克原来的计划没有完成,EGA 依旧是里程碑的巨著。 EGA 的书名显然是在呼应布巴基的丛书《数学原理》(léments de Mathématique),然后者又与欧几里得的经典之作《原本》(Elements)相映。格罗腾迪克在 1950 年代末之后,曾经有好几年是布巴基的成员,和许多其他成员很接近。 所谓“布巴基”是一群数学家的假名,其中大部分是法国人,他们协作撰写一系列关于数学的基础专著。丢东涅还有昂利卡当、薛瓦雷、德沙特以及韦伊都是布巴基的元老。这个群体经常维持在十个人的大小,但成员组合则因时更迭。布巴基的第一本书出版于 1939 年,到了 1950 和 1960 年代,影响力更抵达颠峰。他们的丛书旨在为数学中心范畴提供公设法的重新处置,其普通化的水平希望能够让最多数的数学家受惠。由于布巴基的大部分红员都有强势的个性以及十分特殊的个人观念,因而这些专著都是在成员生动的、以至火爆的讨论中撰写出来的。伯瑞尔是布巴基为时 25 年的成员,他说这样的协作可能是“数学史上绝无仅有的事情”[Borel]。布巴基汇集了当时一些最顶尖的数学家,无私匿名的贡献许多个人时间和精力,让许多数学范畴得以整理呈现。布巴基这套丛书构成很大的衝击。不外到了 1970 和 1980 年代,开端呈现布巴基影响过大的杂音,有些数学家批判这套书的作风太过笼统化和普通化。 布巴基和格罗腾迪克的工作,在普通性与笼统性的层级上有一定的相似性,也都希望能达成基本的、彻底的,以及系统性的目的。他们主要的分野在于,布巴基的涵盖面提高数学许多范畴,而格罗腾迪克只集中于延展代数几何的新概念,以韦伊猜测当作首要目的。另外,格罗腾迪克的著作简直全是以他个人的内在观念为中心,而布巴基则是集体的贡献,是从一切成员的观念冶炼出来的综合体。 伯瑞尔在[Borel]中记载了 1957 年三月,后来被戏称为“僵固函子大会”(Congress of the inflexible functor)的布巴基聚会,当时格罗腾迪克倡议将布巴基关于层论的草稿,以更接近范畴论的观念重写。布巴基放弃这个想法,他们以为这样做可能会招致基础重建无止境的循环。塞尔回想说,格罗腾迪克“无法真的和布巴基协作,由于他有他自己的庞大机器,对他来说,布巴基的普通性还是不够。”另外塞尔还附带说:“我不以为他喜欢布巴基的系统,由于我们要真的讨论并批判草稿的细节。这不是他做数学的方式,他想要自己来。”格罗腾迪克在 1960 年分开布巴基,固然他依旧和其中许多成员很接近。 谣传格罗腾迪克之所以分开布巴基,是由于和韦伊起抵触。不外事实上,他们两人在布巴基的堆叠时间很短暂,依据布巴基的会规,成员必须在 50 岁后退出,因而韦伊在 1956 年分开。不外,格罗腾迪克和韦伊的确是很不同的数学家,就像德利涅说的“韦伊觉得格罗腾迪克对意大利几何学家的成果以及过去的文献太过无知,韦伊也不喜欢他炮制庞大机器的数学作风。他们的作风差别很大。” 除了 EGA 之外,格罗腾迪克的代数几何著作里,另一个主要部分是简称为 SGA 的《代数几何论丛》,其中包含了他在 IHS 讨论班讲演的文字稿。这套书最初由 IHS 发行,SGA2 是由北荷兰与曼森(North-Holland and Masson)两出版社共同出版,剩下的册次则由司普林格出版社(Springer Verlag)出版。SGA1 包含了 1960-1961 年的讨论班讲演,而最后一册 SGA7 则是 1967-1969年 的部分。EGA 的目的是为代数几何奠定基础,对照之下,SGA 则记载了呈往常格罗腾迪克讨论班中持续延展的代数几何研讨。另外,格罗腾迪克曾经在布巴基巴黎讨论班中发表许多他的研讨,后来被汇集成《代数几何基础》一书(Fondements de la Géométrie Algébrique,简称为 FGA),印行于 1962 年。EGA、SGA 与 FGA 合起来的总页数抵达 7500 页。 神奇的扇叶
在《收割与收获》的第一册里,格罗腾迪克为非数学家提供了他研讨工作的阐明性概述(pp.25-48)。他写道,在最基本的层次,他的工作想要统一两个世界:“算术世界,其中的(所谓)‘空间’并没有连续性的概念,另一个是连续世界,其中的‘空间’和日常的了解相当,能够用剖析的措施来处置。”韦伊猜测之所以那么吸收人,正是由于它提供了一统这两个世界的线索。不外与其尝试直接处置韦伊猜测,格罗腾迪克宁可将其中整个理路脉络加以大幅度的推行。这样的广度能够让格罗腾迪克感遭到,韦伊猜测所存身、但却只能藉由猜测惊鸿一瞥的更宽广结构。在《收割与收获》的这一节里,格罗腾迪克解释了他研讨中的一些关键概念,例如概形、层、拓扑范(topos)。 基本上,概形就是代数解形概念的推行。给定一系列不同质数特征的有限体,概形能够因而产生一系列的代数解形,每一个都具有自己特别的几何性质。“这一系列因不同特征数而得的不同代数解形,能够视为‘无量的解形扇叶’(每一特征数对应到一叶)。”格罗腾迪克继续写着:“所谓‘概形’就是这个神奇的风扇,连结一切可能特征数的‘分支’、‘分身’或者‘轮回化身’。” 这个推行到概形的概念,允许我们以统一的措施来研讨代数解形的不同“化身”。迈克尔阿廷评述说,在格罗腾迪克之前,“我不以为人们真的置信能够这样做,这太激进了。历来都没有人敢想像这是可能的措施,敢想像在完整的普通性中进行研讨,这真是十分惊人。” 从 19 世纪意大利数学家贝堤(Enrico Betti)开端,同调理论以及其对偶的上同调理论被延展成研讨拓扑空间的工具。基本上,上同调所提供的不变量,能够做为度量某个空间向度的“量杆”。由韦伊猜测潜藏的洞见所闪烁出的火花,让人们激烈希望改造拓扑空间的上同调措施,应用于代数解形与概形。这个希望在格罗腾迪克与其协作者的研讨中相当水平的完成了。曼弗德说,为代数几何“引入上同调措施,就像黑夜与白天,它将整个范畴推翻了。这就像呈现傅立叶剖析之前与之后的剖析学,一旦控制了傅立叶剖析的技术,忽然之间你对函数就有了一种整体又深化的洞识,上同调理论也相似这样。” 层的概念是勒黑的创见,后来更由昂利卡当与塞尔深化延展其理论。在塞尔被称为 FAC 的突破性论文《代数衔接层》(Faisceaux algébriques cohérents)[FAC],塞尔展示了如何在代数几何中运用层论。格罗腾迪克在《收割与收获》中没有明白的阐明层的概念,但他描画这个概念如何改动了理论的风貌。当层论的概念上场后,状况就像原来美好古老的上同调规范“量杆”,忽然繁衍出无量多的崭新“量杆”,具有不同的尺度和方式,每一种都圆满的适用于各自特定的丈量目的。更重要的是,一个空间一切层所构成的范畴,其资讯丰厚到我们基本上能够“忘掉”原来的空间。一切的空间资讯都藏在层当中,格罗腾迪克称之为“缄默又牢靠的引路人”,带领他走上发现的道路。 格罗腾迪克写着,拓扑范是“空间概念的变形”。透过层的概念,我们能够将空间所存身的拓扑架构,转译为层范畴所存身的范畴论架构。于是,一个拓扑范能够被描画成一个范畴,它并不需求出自正常的空间,但却具备层范畴一切的“好”性质。格罗腾迪克写道,拓扑范的概念强调了一个事实,“在拓扑空间中,真正重要的不是‘点’或点构成的子集,也不是临近的关系等等,而是终间上的层,以及其所构成的范畴”。 德利涅说,为了树立拓扑范的概念,格罗腾迪克“对空间观念做了很深化的思索。”德利涅解释说:“他为了了解韦伊猜测所发明的理论,首先就是延展拓扑范的概念,这是终间观念的推行,然后再为这个问题定义适用的拓扑范。”格罗腾迪克也展示出“事情真的行得通,我们关于正常空间的直觉,[在拓扑范]上也成立这是十分深化的想法。” 在《收割与收获》中格罗腾迪克曾评论说,从技术观念,他的数学研讨都是在延展当时正缺乏的上同调理论。譬如格罗腾迪克、迈克尔阿廷,还有其他人所延展平展上同调(étale cohomology)理论就是一例,这是为了应用于韦伊猜测而延展的理论,也正是他们证明的关键要素之一。不外格罗腾迪克行进得更为深化,他后来延展出模谛(motive)的概念,格罗腾迪克将模谛描画成一个“终极的上同调不变量”,其他的上同调不变量都是它的不同表示或化身。固然完好的模谛理论至今还未成形,但是这个概念曾经产生很重要的数学成果。例如在 1970 年代,高等研讨院的德利涅和朗兰兹(Robert Langlands)猜测模谛与自守表示(automorphic representation)之间的确切关系,这项猜测首见于 1977 年朗兰兹的文章[Langlands],往常是所谓朗兰兹纲要的一部份。多伦多大学的亚瑟(James Arthur)说,想要证明这项猜测最广义的方式还需求几十年。不外他指出,怀尔斯(Andrew Wiles)对费马最后定理的证明,基本上就是这项猜测在椭圆曲线二维模谛的状况。另一个例子,则是美国高等研讨院渥伊沃茨基(Vladimir Voevodsky)的模谛上同调理论研讨,他以这项成就取得 2002 年的菲尔兹奖,而这正是奠基于格罗腾迪克对模谛的原创想法。 在这段回想自己数学研讨的简短深思中,格罗腾迪克写道,构成他研讨的实质与能力的,不是成果或大定理,而是“观念,以至幻想。”(p.51) 格罗腾迪克学派
在 1961 年秋季的一次哈佛之行中,格罗腾迪克写信给塞尔说:“哈佛的数学氛围十分美好,比起逐年阴霾的巴黎,在这里能够闻到真正新颖的空气。此处有相当多的聪明学生,正开端熟习概形的言语,聚精会神于研讨源源不绝的有趣问题。”[Corr]。当时迈克尔阿廷刚在 1960 年完成查利斯基指导的博士论文,并成为哈佛的普尔斯(Benjamin Peirce)讲师。一完成论文,阿廷就开端学习概形的新语,也开端对平展上同调理论产生兴味。阿廷笑着回想说,当格罗腾迪克 1961 年来到哈佛时,“我请他通知我平展上同调群的定义”,但是当时这个概念基本还没有分明的定义,他说:“事实上为了这个定义,我们争论了整个秋天。” 1962 年,阿廷转职到麻省理工学院后,带领一个讨论平展上同调的讨论班,在接下来的两年,他大部分时间都待在 IHS 和格罗腾迪克一同工作。由于即便平展上同调的定义曾经完成,依旧还要花许多功夫整饬,才干让它变成真正适用的工具。曼弗德说:“定义看起来美好极了,但不保障它是有限的,或能够计算,或任何事。”这项阿廷和格罗腾迪克投入的研讨,成果之一是阿廷可表示定理(Artin representability theorem)。阿廷和维杰尔(Jean-Louis Verdier)一同掌管 1963-1964 年的讨论班,专注于平展上同调理论的讨论。这个讨论班的成果,最后写成 SGA4 的三巨册,篇幅多达1600页。 有些人或许不同意格罗腾迪克对 1960 年代早期巴黎数学圈的“阴霾”评价。不外他 1961 年回到 IHS 并重启讨论班,无疑为学界注入了一剂强心针。阿廷说讨论班的氛围真是“棒极了”,其中尽是巴黎数学家的领导菁英,同时又有从各地来访的数学家。一群聪颖又热情的学生开端盘绕在格罗腾迪克身边,在他的指导下撰写学位论文(IHS 并不颁授学位,因而这些学生方式上依旧是巴黎与其周边大学的学生)。1962 年,IHS 曾经搬到巴黎近郊毕悠(Bures-sur-Yvette)的永世院址,座落在宁静、充溢树木的玛丽森林(Bois-Marie)公园中间。讨论班所在的建筑形似观景厅,有着大片的景观窗户,开阔而气韵活动的氛围,提供了一个非比寻常、戏剧性的场所。而格罗腾迪克则是一切活动的灵魂人物。1960 年代访问 IHS 的巴斯回想说:“讨论班的进行互动频繁,不外不论谁是主讲人,格罗腾迪克都主宰了全场。”格罗腾迪克十分严厉,有时对人很强势,“他并不是不友善,但也不会容纳。” 格罗腾迪克延展出一种和学生相处的方式。典型的例子是现任职于南巴黎大学(巴黎第十一大学)的易路齐(Luc Illusie),他在 1964 年成为格罗腾迪克的学生。易路齐曾经参与昂利卡当和史瓦茨的巴黎讨论班,卡当倡议他跟格罗腾迪克做博士论文。易路齐当时只学过拓扑学,因而要面对这位代数几何之“神”时,觉得很担忧,结果格罗腾迪克很亲切和友善,要易路齐解释他当时进行的研讨课题。不外在易路齐短短讲了一些之后,格罗腾迪克就走向黑板,开端了一段关于层、有限性条件、拟衔接性(pseudocoherence),以及相似概念的讨论。易路齐回想说:“那就像汪洋大海一样,黑板上不停地活动着数学的概念。”终了时,格罗腾迪克说他明年的讨论班将讨论 L 函数和 l 进上同调群,而且将由易路齐来撰写讨论班讲义。当易路齐抗议他基本不懂代数几何时,格罗腾迪克说那无所谓,“你会学得很快。” 结果易路齐做到了。他说:“格罗腾迪克的演讲十分分明,而且他花了很多力气回想必要的资料,以及一切的准备学问。”格罗腾迪克是位很好的教员,既有耐性,又擅长明晰阐释。易路齐也说:“他会花很多时间解释十分简单的例子,展示其中机转的运作方式。”格罗腾迪克会去讨论方式化的性质,这类性质经常被人用“平凡的”(trivial)为理由而漠视,被视为太过显然因而不需解释。易路齐说:“大家不想特别去讨论,不想糜费时间。”但是这类性质在教学上十分有用。“固然过程有时分略显冗长,但是关于概念的了解却十分有益处。” 格罗腾迪克指定易路齐撰写讨论班某些讲题的笔记,亦即 SGA5 的第一、二、三章。易路齐回想当他写完,“交给他时,我浑身哆嗦。”几个星期后,格罗腾迪克请易路齐到他家讨论笔记(他经常在家里和同僚或学生工作)。当格罗腾迪克拿出笔记摊在桌面上时,易路齐看到上面都是铅笔写的评注。格罗腾迪克逐条讨论每项评注,两个人就这样对坐几个小时。易路齐说:“他可能对逗号有意见、对句号有意见,他也批判表音记号的标记,但是他也深化批判某些东西的实质部分,并倡议另一种整理的方式──他有形形色色的意见,但他一切的评论都切入要点。”这种对笔记逐行评论的方式,是格罗腾迪克和学生一同工作的典型方式。易路齐还记得有些学生无法接受这么近距离的批判,最后找了他人当论文指导教员。有人以至在和格罗腾迪克会面后简直要哭出来。易路齐说:“我记得有些人十分不喜欢这种方式,你得要顺服[但是]这些不是无的放矢的意见。” 卡兹在 1968 年访问 IHS 做博士后时,格罗腾迪克也指派他工作。格罗腾迪克倡议卡兹在讨论班中做一次关于列夫谢兹束(Lefschetz pencils)的演讲。“我听过列夫谢兹束,但除了听过之外,我其实一无所知。”卡兹回想说:“结果在那一年年底,我曾经在讨论班上做过几次讲演,其内容就是往常 SGA7 的一部份。我学到很多东西,对我的未来影响很大。”卡兹说格罗腾迪克在 IHS,大约一周会花一天和访客谈判。“令人十分诧异的是,他不知怎样就能够让他们对某个东西产生兴味,给他们工作做。”卡兹继续解释说:“对我来说就像是,他关于该给这个特定的人思索什么样的好问题,有种惊人的洞察力。而且格罗腾迪克在数学方面有种难以置信的神采魅力,让人觉得能参与他未来的宏远愿景,简直是一种殊荣。” 哈佛大学的梅哲(Barry Mazur)在 1960 年代早期访问 IHS,他到今天都还记得格罗腾迪克在他们前几次会面时给他的问题。那最先是瓦许尼泽问格罗腾迪克的问题:定义在某个体的代数解形,在不同的复数嵌入方式下,有没有可能得到拓扑互异的流形?塞尔早期曾经给过例子,显现两个流形可能不同。遭到这个问题的启示,梅哲曾经和阿廷继续做过某些同伦论方向的研讨。不外到了格罗腾迪克向他提出这个问题时,梅哲曾经是专业的微分拓扑学家,不会再回头想这类问题。梅哲说:“对[格罗腾迪克]来说,这是自然的问题。但对我来说,这正好是最适切的动机,让我开端思索代数的问题。”梅哲说格罗腾迪克具有一种真正的才干“为人和问题配对,他会量身打造合适你的问题,这个问题将会照亮你的世界。这种特别的感知才干,十分美好,而且很稀有。” 除了在 IHS 和学生、同僚一同工作之外,格罗腾迪克也和巴黎以外的许多数学家坚持通讯联络,其中有些人是在别的中央进行他的计划。例如加州大学柏克莱分校的哈特敻(Robin Hartshorne)1961 年时人在哈佛,从格罗腾迪克在哈佛的演讲中,找到他博士论文主题的想法,那是关于希尔伯特概形的问题。博士论文一完成,他就寄了一份给曾经回到巴黎的格罗腾迪克。在 1961 年 9 月 17 日的回信中,格罗腾迪克先对论文做了简短的正面评价,“[信里]接下来的三到四页,是更多未来我或答应以延展的定理的想法,以及针对这个主题大家可能想知道的事情。”哈特敻说信中倡议的想法有些“极端艰难”,但其他则展示了他杰出的先见之明。在格罗腾迪克倾倒出这些想法之后,他才又回到哈特敻的论文,提供三页细致的意见。 1965 年左右的格罗腾迪克 在 1958 年艾丁堡数学家大会上,格罗腾迪克概述了他关于对偶性理论的想法,但由于他在 IHS 的讨论班忙于其他课题,所以并没有处置这个问题。于是哈特敻自愿在哈佛举行对偶性的讨论班,并且撰写笔记。1963 年夏季,格罗腾迪克提供哈特敻大约 250 页的“前期讲义”,做为讨论班的基础架构。哈特敻在 1963 年秋季开端进行讨论班,听众提出的问题辅佐他延展并精炼这个理论,而哈特敻也开端有系统的将它整理出来。他将每章寄给格罗腾迪克咨询意见,哈特敻回想:“稿件回来时,上面充溢了红色墨水的评注,我照他说的每项修订,再将新版本再寄给他,结果回来时上面又覆满了更多的红色意见。”当哈特敻认识到这样的来来回回可能没完没了时,有一天他决议将文稿送印发行;在 1966 年的司普林格的“数学讲义丛书”(Lecture Notes in Mathematics)中出版[Hartshorne]。 据哈特敻的察看,格罗腾迪克“点子十分多,在那段时间,他简直让全世界认真研讨代数几何的人都忙碌不休。”他如何持续推进这整个大业呢?阿廷说:“我不觉得有简单的答案。”当然格罗腾迪克的精力与广度一定是个中缘由。阿廷继续说:“他精力充沛,而且他的研讨的确掩盖了许多领地。惊人的是,他完整主导这个范畴大约 12 年,没有让任何无能之辈参与其中。” 在格罗腾迪克的 IHS 岁月里,他一心一意投入数学。格罗腾迪克做研讨的庞大精力与才干,再加上他对内心愿景的顽固忠实,产生源源不绝的想法,将许多人卷入激流之中。格罗腾迪克关于他为自己规划而令人畏惧的计划从不畏缩,他坦然投身其中,事无大小勇于承担。巴斯说:“他对数学的规划远超出一个人的才干。”他将许多工作分配给他的学生和协作者,当然他自己也担任很大的部分。就如他在《收割与收获》中解释的,他的动机单纯就只是一种想要了解的愿望。事实上,当时认识他的人都肯定,格罗腾迪克完整不是被任何意义的竞争想法所驱策。塞尔说:“那个时分,完整没有要比什么人先证明什么东西的想法。”而且退一步说,“在某种意义下,他基本不可能去和他人竞争,由于他想用自己的措施做研讨。基本上没有人愿意做相似的事情,那太繁重了。” 格罗腾迪克学派的强势位置也构成一些不好的影响,即便是格罗腾迪克出色的 IHS 同事托姆也感遭到压力。在[Fields]中托姆说,比起其他 IHS 的同事,他和格罗腾迪克的关系“比较不融洽”。托姆写着:“他有压倒性的技术优势,他的讨论班吸收了整个巴黎数学界,而我却拿不出什么新东西,这让我分开地道的数学界,转而处置更普通的观念。例如型态发作学(morphogenesis),这是更吸收我的主题,引导我到一种十分广义方式的‘哲学’生物学。” 1988 年教科书《大学代数几何》的作者李德(Miles Reid)在书后的历史评注写道:“对格罗腾迪克的个人崇拜有严重的反作用。许多贡献终身大部分时间,去熟习韦伊[代数几何]基础观念的人,遭到排斥与凌辱。一整个世代的(主要是法国)学生遭到洗脑,愚笨的置信假如一个问题不能用高度的笼统方式盛装装扮,就不值得研讨。”就当时的潮流,这样的“洗脑”或许是不可避免的反作用,但是格罗腾迪克自己倒是从不寻求为笼统而笼统。李德也指出,除了格罗腾迪克一小部分能够“跟上脚步,生存下来”的学生,被他的想法影响而获益最大的是比较远距离的人,特别是美国、日本,以及俄罗斯的数学家。卡迪耶就在俄罗斯数学家的研讨中看到格罗腾迪克的传承,包含德林费尔德(Vladimir Drinfeld)、孔策维奇(Maxim Kontsevich)、马宁(Yuri Manin)、以及渥伊沃茨基。卡迪耶说:“他们岂但控制到格罗腾迪克的真精神,而且能够将它与其他东西分离起来。”
延伸阅读 1. Pragacz, Piotr, Note on the Life and Work of Alexander Grothendieck (2004). 原文为波兰文,由 Janusz Adamus 译为英文。能够和本文并读。 http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle /pragacz.pdf 2. Grothendieck Circle(格罗腾迪克圈网站) http://www.grothendieckcircle.org/ 3. Grothendieck: Biography, Mathematics, Philosophy. 三册书的计划,本网页是第二册的资料,包含格罗腾迪克较深化的数学题材与相关的传记资料。 http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/peyresqbooks.html 《数理人文》是一本具国际观的科普杂志,由著名数学家丘成桐先生主编,约请当代第一流的数学家与科学家,谈谈他们的研讨阅历和胜利经验。让生动在研讨前沿的科学家,用轻松的文笔,浅显的引见数学及各范畴激动人心的最新进展;导览某个科学专题精彩迂回的延展历史;描画数学在现代科学技术中的普遍应用。内容题材以数学、物理及工程为经,人文为纬,以促进数理人文教育。欢送订阅或引荐图书馆订购 International Press of Boston 的期刊,详情请阅读:intlpress.com International Press of Boston 微信订阅号:math_hmat |