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阿基米德、牛顿和高斯这三个人，在大数学家中自成一个等级，试图依照功劳排列他们的位置，不是普通人做得到的。这三个人都在纯数学和应用数学方面掀起了浪潮：阿基米德评价他的纯数学高于它的应用数学；牛顿把他的数学发明应用于科学；而高斯宣称，做纯数学还是应用数学，对他都一样。但是，高斯还是把高等算术（他那个时期最不适用的数学研讨），推崇为全部数学的皇后。 数学王子高斯是一个贫穷人家的子弟，1777年4月30日出生在德意志不伦瑞克的一个村舍里。在整个数学史中，从没有过像高斯那样早熟的人。人们不知道阿基米德何时显显露天才的迹象。牛顿最早表示出他极高的数学才干时，可能也没有被留意到。固然有些难以置信，但是高斯在3岁以前就显现出了他的才干。暮年的高斯喜欢开玩笑，说他在会说话以前就知道怎样数数了。他终生坚持着作复杂心算的特殊才干。 高斯刚过7岁就进了他的第一所学校。高斯10岁时开端上算术课。在早期的学习中，高斯展开了终身中的一个主要兴味。他很快控制了二项式定理，
其中n不一定是正整数，它能够是任何数。假如n不是正整数，右边的级数是无量的，为了阐明这个级数何时真正等于（1+x）^n，必须研讨对x和n需求加什么限制，才干使无量级数收敛到一个肯定的有限的极限。由于，假如x=-2，n=-1，就得出荒唐的结论（1-2）^-1，就是（-1）^-1，也就是-1，等于1＋2＋2^2＋2^3＋…，致使无量；那就是说，-1等于“无量数”，这显然是荒唐的。 高斯与二项式定理早期的相遇，鼓舞他做出一些最巨大的工作，他成了第一个"严厉主义者"。当n不是一个大于零的整数时，二项式定理的证明以至在今天也超出了初级教科书的范围。高斯不称心书里的证明，高斯又作了一个证明，这使他开端进入数学剖析。剖析学的真正精髓在于正确运用无量过程。 高斯将要改动数学的整个容颜。牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯——都是他们各自时期的大数学家————实践上关于往常能够接受的、触及无量过程的证明毫无概念。是高斯第一个分明地看到，可能会招致像“-1等于无量大”这样荒唐的结论的"证明"，基本就不是证明。即便在某些情形下，一个公式提供了没有矛盾的结果，它在数学中也是没有位置的，除非肯定了严厉的条件，它在这些条件下能不时地产生没有矛盾的结果。
高斯赋予剖析学的严厉性，在他自己的习气和他的那些同代人———阿贝尔、柯西，以及后继者——魏尔斯特拉斯、戴德金——的习气的影响下，慢慢使数学的其他范畴相得益彰，高斯以后的数学成了与牛顿、欧拉和拉格朗日的数学完整不同的东西。 从积极的意义上说，高斯是一个反动者。12岁时他曾经用狐疑的眼光看欧几里得几何基础了；到16岁，他曾经第一次瞥见了不同于欧几里得几何的另一种几何。一年以后，他开端探求性地批判数论中他的前辈们感到称心的那些证明，并从事于填补空白。算术是他最早取得胜利的范畴，成了他发表巨著的阵地。高斯关于什么是证明的实质，具有确信无疑的感知，同时又具有无人超越的、丰厚的数学发明才干。这二者的分离是无坚不摧的。 高斯曾遭到哲学研讨的激烈吸收，不外他不久就在数学中找到了更诱人的吸收力，这对科学是侥幸的。高斯在进大学时已熟练控制了拉丁文，他的许多最巨大的著作都是用拉丁文写的。 高斯在卡罗林学院学习了三年，在这期间他控制了欧拉、拉格朗日较为重要的著作，而最重要的是牛顿的《原理》。一个巨大人物所能得到的最高赞扬，是从与他同一等级的另一个巨大人物那里得到的赞扬。高斯作为一个17岁的少年，历来没有低估牛顿的功劳。其他人——欧拉、拉普拉斯、拉格朗日、勒让德——出往常高斯的拉丁文中的称誉是"辉煌的"；而牛顿则是"最高的"。 还在卡罗林学院时，高斯就开端了他对高等算术的研讨，这些研讨后来使他流芳百世。他那特殊的计算才干起到了关键的作用。他直接探求数自身，用它们做实验，应用归结法发现了一些深奥的普通定理，这些定理，以至他也要费一番气力才干证出来。用这种措施，他重新发现了"算术的珍宝”，“黄金定理”，欧拉也曾用归结法发现过它，人们把它叫做二次互反律，高斯是第一个证明它的人。 整个研讨来源于一个许多算术初学者都会向自己提出的简单问题：在循环小数的每一周期中有多少数字？高斯为了找到阐明这个问题的线索，对n从1到1000计算了一切的分数1/n的小数表示。他发现了巨大得不相上下的东西——二次互反律。由于陈说很简单，我们将描画它，同时引见高斯发明的、在算术的术语和记号中的一个反动性改进，同余。下面触及的一切的数都是整数。 假如两个数a，b之差（a-b或b-a）能够用数m整除，我们就说a，b相关于模m同余，或者简称为同余于模m，我们用a≡b（mod m）的符号表示它。这样，100≡2（mod7），35≡2（mod11）。 这个措施的优点在于，它使我们想起了写代数方程的措施。用一种简约的记号表示算术的可除性，让我们把在代数中招致有趣结果的某些措施，引进算术中。例如，我们能够把一些方程相“加”，我们发现倘若模都是相同的，同余式也能"加"起来，得到另外一些同余式。 设x表示一个未知数，r和m表示给定的数，r不能被m整除。能否有一个x使得
假如有，r就称作一个m的二次剩余，假如没有，r就称作一个m的二次非剩余。 假如r是m的二次剩余，那么一定能够找到至少一个x，其平方被m除余r；假如r是m的二次非剩余，那么就没有其平方被m除余r的x。这些就是上面定义的直接结论。 举例阐明：13是17的二次剩余吗？假如是，必须能够找到同余。
用1，2，3，…去试，我们发现x=8，25，42，59，…都是解，所以13是17的一个二次剩余。但是x^2=5（mod17）没有解，所以5是17的一个二次非剩余。 往常自然要问，一个给定的m的二次剩余和二次非剩余是些什么呢？也就是说，在x^2≡r（modm）中给定m，当x取一切的数1，2，3，…时，什么样的数r能够呈现，什么样的数r不能呈现呢？ 不用费太鼎力气就能表明，要回答这个问题，限定r和m都是素数就足够了。所以我们重新阐明这个问题：假如p是一个给定的素数，什么样的素数q能使同余x^2≡q（mod p）可解呢？在算术的目前状态下，这请求得太多了。不外，这种情形并不是毫无希望的。 在下面这对同余式中存在着美好的"互反"，
其中p和q都是素数：假如q≡1 mod 4，那么同余x^2≡p mod q是可解的当且仅当x^2≡ q mod p是可解的。假如q≡3 mod 4和p ≡ 3mod 4，那么同余x^2= p mod q是可解的当且仅当x^2≡-q mod p是能够处置的。 它是不容易证明的，事实上，它曾使欧拉和勒让德困惑过，高斯则在19岁时给出了第一个证明。由于这个互反律在高等算术以及代数的许多深邃部分中十分重要，高斯试图找到它的本源。他重复思索了许多年，直到他一共给出了6种不同的证明，其中有一种取决于正多边形的尺规作图。
高斯在1795年10月他18岁时，分开卡罗林学院，进了哥廷根大学，那时他依旧没有决议是以数学还是以哲学作为他终身的事业。他曾经发现了（18岁时）“最小二乘”法，这个措施今天在大地丈量学、在观测的简化、在实践上要从大量丈量结果推导出最可能值的一切工作中，都是不可或缺的。高斯与勒让德共享这一荣誉，勒让德在1806年独立发表了这个措施。这项工作是高斯对观测误差理论感兴味的开端。误差正态散布的高斯规律，以及和它一同的钟形曲线是统计学中不可或缺的。 转机 1796年3月30日标记着高斯终身的一个转机点，在那一天，距他20 岁华诞正好一个月，高斯明白地决议了从事数学。学习言语依旧是他终生坚持的一项喜好，但是哲学在3月的这个难忘的一天，永远失去了高斯。 同一天高斯开端记他的科学日记，这些日记是数学史上最可贵的文件之一。第一篇记载了他的巨大发现。只是到了1898年，高斯逝世后43年，这今日记才在科学界传播，当时哥廷根皇家科学院从高斯的一个孙子手里借来这今日记，中止审定研讨。高斯在1796年至1814年这段多产期间的一切发现并没有被全部记载下来。但是许多匆匆忙忙记下来的点滴，足以确立高斯在这样一些范畴——例如椭圆函数——中的抢先位置。 有几则日记表明，日记完整是它的作者的私事。如1796年7月10日的日记上，记着
翻译过来，这是模仿阿基米德喝彩“Eureka（找到了）！”它阐明每一个正整数都是三个三角形数的和，一个三角形数是数列0，1，3，6，10，15，…中的一个，其中（0以后的）每一个都具有1/2n（n+1）这个方式，n是恣意正整数。另一种说法是，每一个方式为8n+3的数都是三个奇数平方的和：
要想证明它是不容易的。 更难了解的是1796年10月11日的日记中神秘的一则，"Vicimus GE-GAN"。这次高斯缚住了什么样的怪龙呢？再有，1799年4月8日，他用划一的方框圈起REV.GALEN时，他降服了什么样的伟人呢？固然这些东西的意义曾经永远失去了，但是留下来的那144个，大多数是够分明的。特别是有一个具有头号的重要性：1797年3月19日的日记表明，高斯曾经发现一些椭圆函数的双周期性。他那时还不到20岁。再有，一则较晚的日记表明，高斯曾经看出了普通情形的双周期性。要是他发表这个结果，就足以使他名声显赫。但是他历来没有发表它
为什么高斯没有披露他的巨大发现呢？高斯说，他从事科学著作，只是出于他天性的最深层的鼓舞，至于这些著作能否要为其他人而出版，对他来说，完整是次要的事情。高斯有一次对一位朋友说的另一番话，解释了他的日记和他迟迟不发表的缘由。他说，在他26岁以前，有那样一堆势不可挡的新思想在他脑海中翻腾，致使他简直无法控制它们，他的时间只来得及记载下来一小部分。这今日记只包含一些曾经使他煞费苦心肠思索了好几个星期的研讨成果的最后的简短阐明。 高斯以为自己留下来的都应该是圆满的艺术品，增一分则多，减一分则少。他说，一座大教堂在最后的脚手架撤除和挪走之前，还算不上是一座大教堂。高斯抱着这样的理想工作，他宁可接二连三地揣摩修饰一篇杰作，也不愿发表他很容易就能写出来的许多杰作的概要。他的座右铭 Pauca sed matura（少些，但是要成熟）。 结果，他的一些著作必须等候很有天赋的解释者作出解释后，普通的数学家才能够了解它们，并向前迈进。他的同代人央求他放宽他那生硬无情的圆满，以便数学能够行进得更快些。但是高斯从没有放宽。直到他逝世以后很久，人们才知道，有多少19世纪的数学，高斯在1800年以前就曾经预见并抢先了。要是他发布了他知道的结论，那么，很可能目前的数学要比往常的状况行进了半个世纪或者更多。阿贝尔和雅可比就能够在高斯停下来的中央开端，而不用把他们大部分最好的肉体用在重新发现高斯早在他们出生以前就知道的东西上了，非欧几何的发明者们就能够把他们的天才转到其他事情上了。 谈到他自己，高斯说他"只是一个数学家"，这对他是不公正的，他的第二个座右铭 大自然，你是我的女神，我愿意在你的定律面前俯首听命…… 真正概括了他献身于他那个时期的数学和物文科学的终身。 在哥廷根大学的3年是高斯终身中著述最多的时期（1795——1798）。他从1795年起就不时在构思一部关于数论的巨大著作。到1798年，这部《算术研讨》实践上完成了。期间他还结识了两位数学家沃尔夫冈·鲍耶和约翰·弗里德里希·普法夫（当时德国最著名的数学家）。 在叙说《算术研讨》之前，我们要看一下高斯的博士论文，《每一个单变量的有理整函数都能合成成一阶或二阶实因子的一个新证明》。
这篇论文所证明的就是我们往常所说的，代数基本定理。高斯证明了任何代数方程的一切的根都是方式为a＋bi的数，i是虚数。这种新类型的"数"a＋bi叫复数。 "虚数"这个词是代数最大的灾难，但是由于它早已得到公认，数学家们无法取消它。其实基本就不该用它。很多数学书籍用旋转给虚数作了一个简单的解释。把i×c（c是实数）解释成线段Oc绕0点旋转一个直角，Oc就旋转到OY上；再用i去乘一次，即i×i×c，把Oc再旋转一个直角，这样总的效果就是把Oc旋转了两个直角，致使+Oc成了-Oc。作为一种运算，用i×i去乘的乘积与用-1去乘的乘积有同样的效果，用i去乘的乘积与旋转一个直角有同样的效果。 高斯以为，每一个代数方程有一个根的定理十分重要，因而他给出了4种明白的证明，最后一个证明是在他70岁时给出的。今天，一些人会把这个定理从代数转移到剖析。以至高斯也假定多项式的图形是连续曲线，而且假如多项式是奇次的，图形一定至少与坐标轴相交一次。关于任何一个初学代数的人，这都是显然的。但是在今天，没有证明它就不是显然的，而要试图证明它，又一次呈现了与连续和无量有关的那些艰难。就像x^2-2=0这样简单的方程的根，也不能在任何有限步内精确地计算出来。
《算术研讨》是高斯的第一部杰作，一些人以为是他最巨大的杰作。在这之后，他就不再把数学作为独一的兴味了。当该著作在1801年（高斯那时是24岁）出版之后，他把他的活动范围扩展到天文学、大地丈量学、电磁学等范畴中的数学和适用两个方面。他在后期感到后悔的是不时没有抽出时间来写出他年轻时计划写的第二卷。这本书有7节。 前言的第一句描画了这本书触及的大致范围。 这本著作中包含的研讨结果，是属于触及整数和分数的那部分数学，无理数除外。 前3节论述同余式理论，特别详尽地讨论了二项同余式
这个精彩的算术理论，与相应的二项方程x^n=A的代数理论有许多相似之处，但是它共同的算术部分，比之与算术毫无相似之处的代数，更是不相上下地丰厚和艰难。 在第4节，高斯展开了二次剩余的理论。在这里能够找到二次互反律的第一个发表了的证明。证明是令人惊奇地用数学归结法得出的，是在任何中央都能找到的那种巧妙的逻辑的一个极好的例证。 第5节一开端从算术的观念讨论二元二次方式，接着又讨论了三元二次方式，并发现它对完成二元理论是必不可少的。二次互反律在这些艰难的计划中起了十分重要的作用。关于所说的第一种方式，普通的问题是要讨论不定方程
的关于x，y的整数解，其中a，b，c，m是恣意给定的整数；对第二种方式，研讨的主题是方程
的整数解x，y，z，其中a，b，c，d，e，f，m是给定的整数。这个范畴中的一个看起来容易、实践上艰难的问题，是要给a，c，f，m施加能够保障不定方程
的整数解x，y，z存在的充沛必要的限制。 第6节把前面的理论应用到各种各样的特殊情形，例如mx^2+ny^2=A 的整数解x，y，其中m，n，A是任给的整数。 这部著作的高峰是第7节，高斯应用前面的展开，特别是二次同余理论，精彩地讨论了代数方程x^n+1，其中n是恣意给定的整数，从而把算术、代数和几何一同编织成了一幅圆满的图案。方程x^n=1是画正n边形，或者n等分圆周的几何问题的代数公式；算术的同余x^m≡1（mod p），是贯串代数和几何，并给这个图案以简单意义的线索。 以前有些人——费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和其他一些人，用其他措施做过一切这一切中的许多部分，但是高斯完整从他个人的观念中止讨论，添加了许多他自己的东西，并从他对有关问题的普通公式和解答，推出了他的前辈们得出的许多孤立的结果。例如，费马用他的"无量降落"的措施，证明了每一个形为4n＋1的素数是两个数的平方和，并且表示成这种和的方式只需一种；他的这个美好的结论，是高斯对二元二次方式的普通论述的自然结果。 高斯暮年时说，"《算术研讨》曾经成为历史"。《算术研讨》的出版给高等算术提出了一个新方向，这样，在17世纪和18世纪是一堆五花八门、互不相干的特殊结果的数论，现采用了统一的方式，上升到在数学科学中与代数、剖析和几何同等的位置。 高斯的学生狄利克雷有一个令人惊奇的定理，即每一个算数级数
包含着无量多个素数，其中a，b是没有比1大的公因子的整数。这是由剖析证明的，这一点自身就是一个奇迹，由于定理思索整数，而剖析论述连续的非整数。 我们可能要问，高斯为什么他历来没有去处置费马大定理。他自己作了回答： 我对作为一个孤立命题的费马定理，真实没有什么兴味，由于我能够很随意地提出一大堆这样的既不能证明其成立，又不能证明其不成立的命题。 高斯接着说，这个问题使他回想起了他对高等算术中止巨大扩展的一些原有想法。这无疑是指库默尔、戴德金和克罗内克后来将要各自独立展开起来的代数数的理论。 谷神星
高斯终身的第二个巨大的阶段开端于19世纪的第一天，这一天也是哲学史和天文学史上用红字表明的一天。自从1781年威廉·赫歇尔爵士发现了天王星，因而把那时已知的行星数目增加到哲学上令人称心的7个以来，天文学家们不时废寝忘食地搜索太空，寻觅太阳家族的其他一些成员。依照波得定律，它们应该存在于火星和木星的轨道之间。搜索不时毫无结果，直到朱塞佩·皮亚齐在19世纪的第一天，察看到他一开端误以为是一个正接近太阳的小彗星的天体，但是它不久就被认出是一颗新的行星——后来命名为谷神星，今天所知道的一大群很小的行星中的第一颗。 谷神星的发现和著名哲学家弗里德里希·黑格尔发表对寻觅第八颗行星的天文学家的讽刺性攻击，正好在同一时分。黑格尔断言，要是他们稍稍留意一下哲学，立刻就会明白，只能有七颗行星，未几也不少。 1844年11月1日高斯写信给他的朋友舒马赫说： 你在当代哲学家谢林、黑格尔、内斯·冯·埃森贝克和他们的跟随者身上看到同样的东西（数学上的无能）；读读古代哲学史中当时的大人物——柏拉图和其他人（我把亚里士多德除外）——在解释方面所用的措施。但是以至就康德自己来说，常常也好不了多少。我以为他对剖析命题与综合命题所作的分辨，要么是平凡缺乏道的，要么是错误的。 高斯在写这封信时曾经充沛控制了非欧几何，非欧几何自身就足以驳倒康德关于"空间”和几何的说法。决不能由于有关纯数学的术语的这个孤立的例子，就以为高斯不了解哲学。他了解。一切哲学上的停顿对他都有着极大的魅力，固然他常常不同意取得这些停顿所运用的措施。他曾经说过， 有些问题，例如令人感动的伦理学，或我们与上帝的关系，或关于我们的命运和我们的未来的问题，我对这些问题的解答，比对数学问题的解答注重得多；但是这些问题完整不是我们能够解答的，也完整不是科学范围内的事。 谷神星关于数学是一个灾难。要了解高斯为什么要那样极严肃认真地看待它，我们必须记住，在1801年，牛顿的庞大形象（已逝世70多年）依旧给数学蒙着阴影。当代的“大”数学家们，是那些废寝忘食地完成牛顿的天膂力学大厦的人，如拉普拉斯。数学依然被当做数理物理学。阿基米德在公元前3世纪所看出的数学作为一门独立学科的幻象，曾经在牛顿的光辉映照下消逝了。直到年轻的高斯再次抓住这个幻象，数学才被招认是一门独立的科学。合理他将要成为数学王国的未经耕耘的荒野上，开端慌张地工作的时分，小行星谷神星，在他24 岁时吸收了他不相上下的聪慧。
一颗新的行星，在它极难观测到的位置被发现了。要从能够得到的少得不幸的数据，计算出行星的轨道，这项工作就是拉普拉斯自己也会感到艰难。牛顿曾经宣称，这种问题属于数理天文学中最艰难的问题。需求确立一条轨道，其精确度要足以保障谷神星在环绕太阳旋转时能用望远镜察看到，光是确立这条轨道所需求的算术，就很可能难倒今天的计算机。 高斯，这位绝后的数学之神，在他的日记里描画的那些隐约闪现的、难以捉摸的东西。谷神星被重新发现了，恰恰是在年轻的高斯经过极端巧妙和细致的计算，估量一定会找到它的中央发现的。欧拉需求三天时间才干完成的计算（听说正是这种计算使他双目失明），高斯只需求几小时。将近20年间，他自己的大部分时间都花在天文学计算上了。 但是以至这样使人变得愚钝而乏味的工作，也不能磨灭高斯的发明天才。1809年他发表了他的第二部杰作《天体沿圆锥截线绕日运动的理论》，这部著作依据观测得到的数据，包含艰难的摄动剖析，对肯定行星和彗星轨道作了详尽的讨论，制定了在以后许多年中支配计算天文学和适用天文学的规律。
1807年，高斯被任命为哥廷根天文台台长。哥廷根天文台在当时能够付给高斯的薪俸未几，但是足够满足高斯和他家庭的简单需求。正如他的朋友冯·瓦尔特肖森所写的： 正如他年轻的时分一样，在他整个老年时期，直到他去世的那天，一直坚持为一个俭朴的高斯。一间小书房，一张铺着绿色台布的小小的工作台，一张漆成白色的必备的书桌，一张单人沙发，在他70 岁以后，又有一把扶手椅，一个带灯罩的灯，一间没有生火的卧室，简单的饮食，一件晨衣和一顶天鹅绒的便帽，这些就足以满足他的全部需求了。 解析函数 假如高斯公开了他向贝塞尔吐露的一项发现，那么1811年可能就是能够与1801年（《算术研讨》出版的那一年）相比的数学上的里程碑了。高斯曾经完整弄懂了复数和它们作为解析几何平面上的点的几何表示，他向自己提出了研讨这种数的、今天称为解析函数的问题。 复数z=x＋iy。当x，y以任何指定的连续方式各自取实值时，点z就在平面上移动。当给z指定一个值时，取任何一个包含z的单值表白式，诸如z或1/z 等等，称为z的一个单值函数。我们用f（z）表示这样一个函数。于是，假如f（z）是特定的函数z，使得
那么显然当给z指定任何值，例如x=2，y=3，这个f（z）就因而确切地决议了一个值，z=-5＋12i。
并不是一切的单值函数f（z）都要在单复变量函数的理论中中止研讨；只是单演函数被选择出来中止详尽的讨论。 让z移动到另一个位置z'。函数f（z）取另一个值f（x'），由x'替代得到。往常用变量的新值和旧值之差去除函数的新值和旧值之差f（z’）-f（z），这样就有
正像在计算一个图形的斜率以找出图形所表示的函数的导数时做的那样，这里我们让z'无限接近z，从而f（z'）同时接近f（z）。但是此处呈现了一个值得留意的新现象。 x'怎样移动到与z重合，在这里没有一条统一的途径，由于z'在与z重合之前，能够经由无限多个不同的途径，在复数平面上移动。我们无法希望当z'与z重合时，（f（z'）-f（z））/（z'-z）对一切这些途径的极限值都一样，普通说来是不一样的。 但是假如f（z）使得刚刚描画过的极限值，对z'移动到与z重合时所经过的一切途径都是一样的，那么就说f（z）在z（或者在代表z的点）是单演的。 分歧性和单演性是单复变量解析函数的特殊的特征。 流体运动理论的宽广范畴，是由单变量解析函数处置的，由这个事实能够推断出解析函数的一些重要意义。假定这样一个函数f（z）被分红"实"部和"虚"部，好比说f（z）=U＋iV。关于特殊的解析函数z^2，我们有
想象一个在平面上活动的流体层。假如流体的运动没有涡流，运动的流线就能够经过画出曲线U=a，其中a是恣意的实数，由某个解析函数f（z）得到，同样能够由V=b得到等位线。让a，b变动，我们就得到一个完好的运动图形，其区域我们想要多大就有多大。关于一个给定的情形，好比说盘绕着一个障碍物活动的流体的情形，问题的艰难部分在于选择什么样的解析函数。这样整个事情就倒了过来：研讨一些简单的函数，寻觅它们合适的物理问题。十分奇特的是，这些人为准备的问题，有许多被证明在空气动力学和流体运动理论的其他实践应用中是最有用的。 单复变量解析函数的理论，是19世纪数学取得胜利的最巨大的范畴之一。高斯在给贝塞尔的信中，阐明了这个理论中的基本定理有多么重要，但是他没有公开它，而留待柯西和后来的魏尔斯特拉斯去重新发现。由于这是数学剖析史上的一个里程碑，我们要简单地描画它。
想象单复变量z在一个没有扭结的有限长的闭曲线上移动。在曲线上标出n个点P1，P2，…，Pn。使得P1P2，P2P3，P3P4，…，PnP1的每一段都不超越某个预先指定的有限长度l。在每一个这样的线段上，选一个不在线段的两端的点；对相应于该点的z的值，构成f（z）的值；把这个值与点所在的线段的长度相乘。关于一切的段都这样做，再把结果加起来。最后当段的数目无限增加时，取这个和的极限值。这给出了f（z）关于曲线的"线积分”。 这个线积分何时为零呢？为了使线积分为零，充沛的条件是f（z）是在曲线上和曲线内的每一点z都解析（分歧和单演）。 超越几何级数 这就是高斯在1811年通知贝塞尔的巨大定理，它和同一类型的另一个定理，在独立地重新发现它的柯西手里，将以推论的方式产生剖析学中的许多重要结果。 1812年，拿破仑的大军拼命地挣扎着中止穿越冰冻平原的后卫战役，也正是在这一年，高斯发表了另一项巨大的工作，这是关于超越几何级数
的工作，其中虚点表示级数依照所示的规律无限继续下去，下一项是
这个研讨讲演是另一个里程碑。正如曾经指出的，高斯是现代第一个严厉主义者。在这项工作中，为了使这个级数收敛，必须给a，b，c，x加以一些限制。它作为特殊情形，包含了剖析中的许多重要的级数，例如，用于在牛顿天文学和数理物理学中重复呈现的对数、三角函数和其他一些函数的计算和造表中的级数；广义的二项式定理也是一个惯例。经过研讨这个级数的普通方式，高斯一举处置了许多问题。从这项工作中，展开出了对19世纪物理学中的微分方程的许多应用。 固然由于篇幅所限，无法讨论高斯对纯数学所作贡献的许多例子，但是以至在最简单的概述中，有一个例子也是不容忽视的，这就是关于双二次互反律这项工作。它的重要性在于，它给高等算术提供了一个完整出其不意的新方向。 既然曾经处置了二次互反的问题，高斯思索任何次数的二项同余式的普通问题就是很自然的了。设m是一个给定的、不能用素数p整除的整数，且设n是一个已知的正整数，假如还能找到一个整数x，使得
那么就称m为p的一个n次剩余；当n=4时，m就是p的一个双二次剩余。 二次二项同余（n=2）的情形，对n超越2时简直没有什么提示。高斯要讨论这些高次同余，研讨相应的互反律，即x^n≡p（mod q），x^n≡q（mod p）之间（关于可解或不可解）的相互关系。特别是n=3，n=4的情形是要研讨的。 1825年的论文开辟了新天地。在经过多次无法忍耐的错误之后，高斯发现，有理整数，1，2，3，…不适合于双二次互反律的论述；必须发明一类全新的整数。这些被称为高斯复数，是一切那些方式为a＋bi的复数，其中a，b是有理数。为了阐明双二次互反律，必须对这些复整数的算术可除性规律作详尽的初步讨论。高斯作了这样的讨论，因而开端了代数数的理论。关于三次互反（n=3），他也用同样的方式发现了正确的途径。 高斯最喜欢的弟子爱森斯坦处置了三次互反问题。他还发现了双二次互反律和椭圆函数理论的某些部分之间令人惊奇的联络，高斯在这方面作过深化的研讨。 高斯还在几何和数学对大地丈量学、牛顿引力理论和电磁学的应用方面，取得了同等重要的停顿。一个人怎样可能完成这样大量的最高水平的工作呢？高斯说，"假如其他人也像我这样思索数学谬误，也像我这样深化，这样耐久，那么，他们也能作出我所作出的这些发现。"
高斯不由自主地专注于数学思想。他在和朋友们说话的时分，会忽然缄默下来，沉浸在他无法控制的思想中，一动不动地站在那里，茫然地注视着周围的一切。过后他控制住了自己的思想，有认识地把他的全部力气用于处置一个艰难问题，直到胜利为止。他一旦抓住一个问题，在降服它之前是不会放手的，固然他可能会同时专注于几个问题。 他在一个这样的例子中，讲述了他怎样在长达4年之久的时间里，简直没有一个星期不花一些时间去试着处置一个肯定的符号是正还是负，最后答案忽然自己呈现了。高斯经常在破费了几天或几个星期毫无结果地从事某项研讨之后，在经过了一个不眠之夜继续工作时，发现障碍消逝了，全部解答分明地闪往常他的脑海中。慌张而耐久地集中肉体的才干，是他过人之处之一。 这种在自己思索的世界中忘掉自己的才干，高斯与阿基米德、牛顿是相似的。在另外两个方面，他也和他们不相上下：他具有精密察看的天赋和科学首创才干。这些才干，使他能够设计出他的科学研讨所必须的仪器。大地丈量学中的回照器就归功于高斯，这是一个巧妙的装置，信号能够应用反射光即刻实地传播进来。回照器在当时是一大进步。在高斯手里，他所用的天文仪器也得到了显著的改进。为了用于他对电磁学的重要研讨，高斯发明了双线磁强计。最后，他在1833年发明了电报，并和与他一同工作的威廉·韦伯把它用来传送音讯。数学天才与第一流的实验才干的分离，是全部科学中一种极为稀有的情形。 高斯自己极少关怀他的发明可能有的实践用处。他像阿基米德一样，宁要数学，也不要地上的全部王国。但是，韦伯分明地看到了哥廷根的这个小小的电报对文化意味着什么。我们记得铁路在19世纪30年代初刚刚呈现，韦伯在1835年就预言，"当全球都掩盖上一张铁路和电报的网时，这张网所提供的效劳，就能够与人体神经系统的作用相当了，部分作为运输的措施，部分作为以闪电的速度传播思想和大事情的措施。" 高斯与勒让德
有一次阅历使勒让德成为高斯终身的敌人。高斯在他的《天体运动理论》中曾经提到他很早发现的最小二乘法。勒让德在高斯之前，于1806年发表了这个措施。他怀着极大的愤恨写信给高斯，实践上是责备他不诚实，并埋怨说高斯有那么丰厚的发现，原能够顾及面子，不用盗用最小二乘法——勒让德视之为他自己最珍爱的东西。拉普拉斯参与了这场争持。他没有说他能否置信高斯所肯定的确实比勒让德抢先10年或者更早，但是他坚持他一向文质彬彬的态度。 高斯显然不屑于就这件事再争论下去。但是他在给一个朋友的信中指出了证据，要是高斯不是那么“狂妄而不屑于争持”，这个证据当时就能够终了这场争论。他说："我在1802年就把这整个问题通知奥伯斯了。"而假如勒让德对此有所狐疑，他本能够问问奥伯斯，奥伯斯手上有手稿。 这次争论对数学后来的展开是十分不利的，由于勒让德把他没有依据的狐疑通知了雅可比，这样就阻止了雅克比与高斯树立起密切的关系。在这场误解中特别令人遗憾的是，勒让德是一个品德高尚的人，他自己是极为公正的。他命中一定要在一些范畴里被比他富于想象力的数学家超越，他漫长而勤劳的终身，大部分都破费在这些范畴中，而他的辛劳被年轻人——高斯、阿贝尔和雅可比——证明是多余的。高斯每一步都走在勒让德前面。但是当勒让德责备高斯做事不公正时，高斯感到他自己堕入了困境。他写信给舒马赫，埋怨说， 看来我是命中一定，简直在我一切的理论工作中都与勒让德撞车。在高等算术中，在与椭圆求长法（寻觅曲线的弧长过程）有关的超越函数的研讨中，在几何基础中，都是这样，而往常，在最小二乘法中，……也用在勒让德的工作中，而且的确用得很漂亮。 高斯令人诟病的中央是，关于他人的巨大工作，特别是比较年轻的人的工作，缺乏热忱。当柯西开端发表他在单复变量函数理论中的光辉发现时，高斯对它们听而不闻，高斯没有对柯西说一句赞扬或鼓舞的话，由于高斯自己在柯西开端这项工作以前很多年，就已抵达了这个问题的中心。还有，当哈密顿关于四元数的著作在1852年惹起他的留意时，他什么也没有说，由于这个问题的关键早已记在他30多年前的笔记中了。他坚持缄默，没有提出他的优先权。正如对他在单复变量函数理论、椭圆函数和非欧几何中的抢先位置一样，高斯满足于做了这些工作。 其他巨大贡献
要论述高斯对数学、纯数学和应用数学的全部突出的贡献，需求写一本很厚的书。这里我们只能思索一些还没有提到的、比较重要的工作，我们将选择那些给数学添加了新措施，或者圆满处置了突出问题的工作。从粗略但是方便的时间表中，我们概括了高斯在1800年以后感兴味的主要范畴如下：
1821——1848年，高斯是汉诺威和丹麦政府大范围测地勘测的科学顾问。高斯积极投身于这项工作。他的最小二乘法和他在设计处置大量数值数据的格式方面的技巧，有了充沛发挥的机遇，但更重要的是，在精确丈量一部分大地曲面中呈现的问题，无疑提出了与一切曲面有关的更深化、更普通的问题。这些研讨将引出相对论的数学。高斯的几位前辈，特别是欧拉、拉格朗日和蒙日，曾经研讨过关于某些类型的曲面几何，但是它依旧有待于高斯去处置全部普通性的问题，从他的研讨中产生了微分几何的第一个巨大的时期。
微分几何能够被粗略地描画为在一个点的临近处（近到使距离的高于二次的幂可被省略）对曲线、曲面等等性质的研讨。黎曼遭到这项工作的启示，在1854年写出了构成几何基础的假定的经典论文，接着开端了微分几何的第二个巨大时期，今天它被应用于数理物理学，特别是广义相对论中。 高斯在他的关于曲面的著作中思索了三个问题，提出了对数学和科学具有重要意义的理论，这三个问题是曲率的丈量、保角表示（即映射）和曲面的可贴性。 "弯曲的"时空，是对一个用四个坐标而不是用两个坐标描画的"空间”中通常可见的曲率的纯数学的扩展，这种并不神秘的推行是高斯关于曲面的工作的自然展开。他的一个定义阐明了这一切的合理性。问题是要想象一些精确的措施，来描画曲面的"曲率"怎样从曲面的一个点变到另一个点；这种描画必须附合我们关于"弯曲得多"和"弯曲得未几"的直观觉得。
由一个没有扭结的闭合曲线C围成的曲面，其任何部分的全曲率是如下定义的。曲面在给定点的法线是经过该点的直线，它垂直于在给定点与曲面相切的平面。C的每一个点处有一根曲面的法线。想象一切这些画出来的法线。往常，想象一个球，其半径为单位长度，从该球的中心，画出一切平行于C的法线的射线。这些射线将在单位半径的球上交出一条曲线，好比说C'。球面上由C'所围的那一部分的面积，就定义为给定曲面上由C围出的那一部分的全曲率。稍微想象一下就会看出，这个定义与所请求的普通概念是分歧的。 高斯在曲面研讨中开辟的另一个基本概念是参数表示。 表示平面上的一个特殊点，请求两个坐标。在球面或像地球那样的球体上也一样：在这种情形下坐标能够被想象为经度和纬度。这阐明了二维流形意味着什么。普通说来，假如要细致表示一类东西（点、声音、颜色、线）中的每一个特殊成员（使其个性化），恰恰n个数是充沛且必要的，那么就说这个类是一个n维流形。在这样的表示中，人们同意，只给该类成员的某些特征指定数。例如，假如我们只思索声音的音高，我们就有一个一维流形，由于一个数，即声音的振动频率，就足以决议音高；假如我们加上音量，声音往常就是一个二维流形了，等等。假如我们往常把曲面看成是由点构成的，我们就看出它是一个（点的）二维流形。我们发现，用几何的言语把任何二维流形说成"曲面"，并把几何推理用于流形——希望发现一些有趣的东西——是很方便的。 上述思索招致了曲面的参数表示。在笛卡儿的几何中，三个坐标之间的一个方程表示一个曲面。设（笛卡儿）坐标是x，y，z。我们往常用三个方程替代x，y，z的单独一个方程来表示曲面：
其中f（u，v），g（u，v），h（u，v）是新变量u，v的函数，当这些变量被消去时，就得到x，y，z的曲面方程。u，v 称为曲面的参数，三个方程x=f（u，v），y=g（u，v），z=h（u，v）称为曲面的参数方程。这种表示曲面的措施当用于研讨点与点之间变更很快的曲面的曲率和其他性质时，要比笛卡儿措施优越得多。 留意，参数表示是内蕴的；它的坐标参照曲面自身，而不是像笛卡儿措施那样，参照一组外在的与曲面无关的轴。还应该留意到两个参数u，v直接表明曲面的二维性质。地球上的经度与纬度是这些内在的、"自然"坐标的例子。 这个措施的另一个优点是，它很容易推行到恣意维数的空间。只需增加参数的数目，像前面那样做就足够了。这些简单的想法招致了毕达哥拉斯和欧几里得的度量几何的推行。这个推行的基础是由高斯奠定的，但是它们关于数学和物文科学的重要意义，直到20世纪才遭到充沛注重。
大地丈量学的研讨还向高斯提示了几何学中另一个有力的措施，即保角映射措施的展开。坚持角度的映射称为保角映射。在这样的映射中，单复变量解析函数理论是最有用的工具。保角映射的整个课题经常用于数理物理学及其应用，例如静电学、流膂力学和它的分支空气动力学，在最后这个学科中，它在机翼理论中起了重要作用。 高斯一向认真耕耘并取得胜利的另一个几何学范畴，是曲面的可贴性，它请求决议什么样的曲面能够不拉伸、不撕裂、弯曲地贴到另一个给定的曲面上。在这里，高斯发明的措施又是具有普遍性的，并具有普遍的用处。 高斯还对科学的其他范畴中止了重要研讨，例如对电磁学（包含地磁学），毛细现象，引力规律中椭球体（行星是特殊类型的椭球体）之间的吸收力，以及屈光学，特别是关于透镜组的屈光学等的数学理论，都作出了重要的研讨。最后这个部门给他提供了一个应用他的纯笼统措施（连分式）的机遇，这个措施是他在年轻时为了满足对数论的猎奇心而展开起来的。 高斯不只把一切这些东西极端地数学化了，他还擅长用他的双手和双眼将数学应用于其他学科。他发现的许多特殊的定理，特别是他在电磁学和引力理论的研讨中发现的定理，成了一切在物文科学方面的人们必不可少的工具。高斯在他的朋友韦伯的辅佐下，为一切的电磁现象寻觅一个称心的理论达许多年之久。由于没有找到他以为称心的理论，他放弃了这项尝试。假如他发现了电磁范畴中的克拉克·麦克斯韦方程，他可能就称心了。
最后，我们必须提及拓扑学，关于这个学科他除了在1799年他的论文中顺便提了一下以外，什么也没有发表，但是他预言它将成为数学中一个备受关注的主要课题。 高斯的最后几年荣誉满身，但是他并没有得到他有权享用的幸福。在他逝世前几个月，当那致命的疾病显显露最初的病症时，高斯依旧像他过去那样思想矫捷生动，有着丰厚的发明力。但是他只需能工作就工作，固然他的手痉挛，他那漂亮明晰的书写最后难于辨认了。他写的最后一封信是给戴维·布鲁斯特爵士的，谈到电报的发明。 他简直不时到最后都是苏醒的，经过一番要活下去的努力挣扎以后，他在1855年2月23日清晨安定地逝世，享年78岁。他活在数学的每一个中央。 来自：老胡科学 |
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