各种湍流方式的比较与剖析

研讨湍流的目的最终是为了预测和控制湍流。为了做到这 些必须了解湍流的实质。随着电子计算机的展开，应用数值模仿措施研讨湍流成了必不可少的措施。

假如从活动控制方程 动身，中止最精密的数值模仿，称为直接数值模仿 (DNS， Direct Numerical Simulation)。

只需预测湍流的统计量时，从雷诺平均方程动身的模仿， 称为雷诺平均数值模仿 (RANS, Reynolds AverageNumerical Simulation)。

介于DNS和RANS之间的是大涡模仿 (LES, Large Eddy Simulation)。LES的思想是大尺度脉动用数值措施计算，小尺度脉动对大尺度的作用经过模型假定处置。

以下我们主要讨论雷诺平均 数值模仿 (RANS) 的封锁方式。

湍流方式的基本思想

在雷诺方程中树立雷诺应力和平均运动场间的关系式，就能够 使雷诺方程封锁，此方式称为低阶矩方式。假如以雷诺方程和雷诺应力输运方程联立作为湍流统计均衡的控制方程，这种方式称为二阶矩方式。此外，依据封锁关系式的数学方程方式，湍流方式又可分为代数方式或者微分方式。

湍流的直接数值模仿 (DNS) 不存在封锁性问题，准绳上能够 求解一切湍流问题。由于计算机资源的限制，迄今为止DNS只能求低雷诺数的湍流简单问题。雷诺统计平均方式 (BANS) 计算速度快且契合设计精度请求，成为目前工程应用的独一措施。

RANS的缺陷是缺乏普适性，要使这种措施称为一种简单牢靠的 措施还需求做很深化的工作。大涡数值模仿措施 (LES) 只对小尺度脉动做封锁模型，因而可能有较宽的顺应范围。

树立湍流统计方式的普通原理

树立足够的雷诺应力方程组（代数、微分或普通泛函）使 得平均运动方程可解。

雷诺应力是平均速度场和初边值条件的泛函，待封锁项是 平均速度场、边疆速度脉动和边疆湍动能的泛函。而泛函的细致方式很难用解析、实验或者直接数值模仿的方式肯定。因而湍流统计 矩具有以下性质：

• 泛函表白式不是部分的。
• 脉动场的泛函方式除了与平均速度场有关，还隐含流 场的几何边疆。

综上所述，湍流脉动的统计矩中包含丰厚的脉动场的性质，但是他们不可能用解析措施表白出来。因而我们不得不做各种假定，各个假定又有自己的适用范围。应用湍流方式既需求理性又需求阅历。

封锁方式方程的约束条件

脉动速度的高阶矩是张量，统计量之间是张量关系式。张量关系的封锁式必须满足客观性准绳：

• 张量函数的可表性准绳；
• 关于参照系统的不变性准绳；
• 真实性准绳；
• 渐近性准绳。

常用的一些封锁方式

• 涡粘方式：是工程中普遍应用的方式，表白式和分子粘性相似。
• 2阶矩方式：也称雷诺应力方式，比涡粘方式多6个雷诺应力的偏微分方程。

代数涡粘方式（零方程方式）

雷诺应力表白式<ui′uj′>=2 v T Sij-1/3 <δij ><ui′ui′>。即bussinesqe涡团粘度方式。 Sij 为平均切变率张量。目前在工程上普遍应用的代数涡粘方式是Baldwin-Lomax方式。

代数涡粘方式的评价：

• 计算量少，只需附加粘性模块就能够应用通常的N-S数值 计算程序，是最受工程师们欢送的措施。没有普适性，合适对特定的活动做各种修正。

结论：二维薄层湍流预测结果称心，三维复杂湍流基本 不能称心。

规范k-ε方式（两方程模型1）

由涡粘方式展开而来，把涡粘系数和湍动能及湍动能 耗散率联络在一同。vT=Cμk/ ε ， Cμ为无量纲系数。

上式依据是脉动动量输运的物理机制。vT∝ql ， l ∝ k 3/2/ ε ， q ∝√ k ， q为脉动速度的特征量， l 为脉动长度尺度。

在k-ε 方式中，k 和ε 分别在他们的输运方程中解出。

湍动能耗费的机制十分复杂，对它的方程做逐项模化 简直是不可能的。往常采用的是基于类好比法，基本思想是湍动能耗散的生成、扩散以及消逝等项和湍动能方程中的对应项有相似的机制和公式。其封锁的方程如下：

模型方程的常数如下：

关于规范k-ε方式的评价，主要缺陷是：

• 假定雷诺应力和当地的平均切应变成正比， 不能反响雷诺应力沿流向的松弛效应；
• 方式是各向同性的，不能反响雷诺应力的各向异性，特别是近壁湍流；
• 不能反响平均涡量的影响。

为了抑止方式的缺陷，展开了近代的非线性方式。

非线性k-ε方式

我们把雷诺应力的泛函表白式近似为代数表白式，并 把他做Taylor展开，并保存到2阶项，得如下二次式：

此方式不只仅是代数意义上的二次式，它包含了涡粘 系数的各向异性，历史效应以及平均涡量的影响。此方式能够预测到方管湍流中的二次流，而规范方式只能预测到流向平均的单向平均活动。

非线性k-ε 方式较之规范 k-ε 方式有很大改进，但 仍具有涡粘方式的固有缺陷，如没有包含雷诺应力的松弛效应等。同时，在平均切变流很大的流场内， k-ε 方式有可能不满足真实性条件。

最后，理论上 k-ε 方式是以湍动能生成和耗散相均衡 为基础的，在固壁处分子粘性扩散将在湍动能中起重要作用，实践应用中我们运用壁函数而不是数值积分对其处置。

壁面律的最大缺陷是难以推行到三维和复杂的湍流中， 假如网格分辨率足够，我们还能够对近壁 k-ε 方式修正，称为低雷诺数模型。

k-ω方式（两方程模型2）

ω 为湍动能比耗散率。此方式主请求解湍动能及它的 比耗散率的对流输运方程。

己经证明，k-ω 两方程方式在粘性子层比k- ε 模 式有更好的数值稳定性。同时由于 ω在壁面处较大，此方式不需求显式的壁面衰减函数。

雷诺应力的涡粘性方程

v t 为涡粘性， ρ 为流体密度

k和 ω 的输运方程为

各个参数为

边疆条件

y1为分开避免第一个点的距离。

双方程涡粘系数输运方式（一方程方式）

规范k-ε 方式是部分均衡方式，不能精确预测平均流动有猛烈变更的湍流，如流线曲率忽然变更、分别活动以及有激波的可紧缩湍流。既要坚持涡粘方式的简单方式，又要思索雷诺应力的松弛效应，Spalart提出了双方程涡粘系数方式。依旧采用涡粘方式的雷诺应力公式，但是放弃vT=Cμk/ ε ，而直接导出涡粘的输运方程。对平均应变率表白式的平方求质点导数并代入雷诺应力输运方程，再加上雷诺应力输运方程的封锁方式，就能得到涡粘系数的封锁方式。常用的有Baldwin-Barth (BB) 方式和Spalart-Allmaras (SA) 方式。

涡粘方式的评价：

• 涡粘方式在工程中应用比较方便，主要缺陷是它的部分性（Spalart方式除外）。假如从雷诺应力输运方程动身，雷诺应力的历史效应就能够模仿，此封锁方式成为二阶矩方式。

2阶矩方式的封锁式(RSM)

脉动速度2阶矩的目的就是封锁以下雷诺应力输运方程：

待封锁项为Φij，Dij和 Eij。

2阶矩方式分别封锁扩散、耗散和压强速度梯度相关项。

雷诺应力再分配项的方式

b为无量纲化的雷诺应力偏张量：

方式常数由典型湍流的实验结果肯定，如下：

最后一项称为壁面项，只在极近壁处有较大贡献，通 常疏忽或者兼并到其他项。

雷诺应力耗散项的方式

在湍流统计方程的封锁方式中，湍流输运的耗散方式是最难树立的。耗散包含大涡耗散，小涡耗散，湍动能耗散的扩散项，湍动能耗散的耗散项和湍动能耗散的分子扩散项。目前常用各向同性的耗散模型。ε ij=2/3εδij。这是不得已而为之，但是目前还未提收工程中更适用、更好的耗散方式。

雷诺应力扩散项的方式

扩散项包含3阶矩和压强一脉动速度关联，普通状况，后者相对前者小得多，所以把其放在3阶项里一同处置。扩散项通常采用梯度方式封锁，简单的模型采用各向同性方式。

思索各向异性还有其他推行方式。τij是雷诺应力。 方式常数Cs=0.11。

2阶矩方式的评价：

• 包含了雷诺应力的展开过程， 能很好的预测复杂湍流。

• 近壁雷诺应力各向异性很强， 各向同性的耗散方式有 待改进。

• 2阶矩方式的缺乏之处在近壁湍流，强旋转湍流中特别突出。

代数方式的2阶矩方式(ASM)

雷诺应力输运部分均衡假定：不计雷诺应力质点导数， 只需生成、耗散和再分配3项。Rodi提出代数应力方式 (ASM )，疏忽雷诺应力沿平均轨迹的变更和扩散，得到雷诺应力的隐式代数方程。

代入各项得适用公式：

ASM方式是基于部分均衡假定。但ASM放弃了雷诺应力和平均切变率间各向同性的假定，因而在准均衡的三维定常湍流的预测要好一些，但在二维并没有多大优势。

关于湍流方式的综合评述

湍流方式是目前预测复杂湍流的独一工具。即便直接 数值模仿复杂湍流成为理想，快速精确地预测湍流统计特性的模型仍受工程师们的欢送。

现有统计方式的致命缺陷：没有一个方式能精确预测 一切湍流。

零方程方式能够很好地模仿附着边疆层湍流，方式对 自由剪切湍流、附着边疆层湍流和适度分别湍流有较高的计算精度。

可能的两种改进：分区方式（活动分区计算技术和并 行算法）和应用张量对湍流场中止分类。

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