世界十大最顶尖数学难题

世界十大数学难题是人类攀爬高峰的追求极点，是数学范畴的皇冠！其中出名遐迩的所谓“七大数学难题”，是由美国克雷数学研讨所(Clay Mathematics Institute, CMI)提出的。2000年5月24日，克雷数学研讨所宣布，该机构搜集了数学历史上极端重要的七道经典难题，而解答出其中任何一题的第一个人将取得100万美圆奖金。

因而，这七道题也被称为“七大数学难题”。这七道题分别是P与NP问题（NP完整问题）、霍奇猜测、庞加莱猜测、黎曼假定、杨－米尔斯存在性和质量缺口假定（杨－米尔斯理论）、纳维叶－斯托克斯方程（纳卫尔－斯托可方程）、贝赫和斯维讷通－戴尔猜测（BSD猜测）。以下罗列了更全面的一切的世界十大数学难题分别引见如下：

一、P(多项式时间)问题对NP(非肯定多项式时间)问题

在周末的一个晚上，若你参与了一个浩荡的晚会。由于感到忐忑不安，你想知道这一大厅中能否有你曾经认识的人。你的主人曾经向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘左近角落的女士罗丝。不出一秒钟，你就会向那里审视，并发现你的主人是正确的。

但是，假定没有这样的暗示，你势必环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看能否有你认识的人。生成问题的一个解，通常比考证一个给定的解时间破费要多很多。这是普通现象一个例子。相相似的问题是：假定某人通知你，数13，717，421能够写成两个较小的数的乘积，你或者不知道能否应该置信他，但假如他通知你它能够因式合成为3607乘上3803，那么你就能够用一个袖珍计算器容易考证这是正确的。

人们发现，一切的完整多项式非肯定性问题，都能够转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的一切可能答案，都能够在多项式时间内计算，人们于是就会猜测能否这类问题存在一个肯定性算法，能够在多项式时间内，直接算出或是搜索出正确的答案呢?这就是十分著名的NP=P?的猜测。

提出人：P对NP问题，曾经是克雷数学研讨所高额悬赏的七个千禧年难题之一，同时也是计算机科学范畴的最大难题，由于关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。P对NP问题是Steve Cook于1971年初次提出。

"P/NP问题"：这里的P指多项式时间(Polynomial)，一个复杂问题假如能在多项式时间内处置，那么它便被称为P问题，这意味着计算机能够在有限时间内完成计算;NP指非肯定性多项式时间(nondeterministic polynomial)，一个复杂问题不能肯定在多项式时间内处置，假定NP问题能找到算法使其在多项式时间内处置，也就是证得了P=NP。比NP问题更难的则是NP完整和NP-hard，好比围棋就是一个NP-hard问题。2010年8月7日，来自惠普实验室的科学家Vinay Deolalikar宣称曾经处置了"P/NP问题" ，并公开了证明文件。

难题处置：美国惠普实验室的数学家维奈·迪奥拉里卡盘绕一个众所周知的NP问题中止论证，并且给出了P≠NP的答案。这就是布尔可满足性问题(Boolean Satisfiability Problem)，即讯问一组逻辑陈说能否能同时成立或者相互矛盾。迪奥拉里卡声曾经称，他曾经证明，任何程序都无法疾速解答这个问题，因而，它不是一个P问题。

假如迪奥拉里卡的答案成立，阐明P问题和NP问题是不同的两类问题，同时也意味着计算机处置问题的才干有限，很多任务的复杂性从基本上来说或许是无法简化的。

关于有些NP问题，包含因数合成，P≠NP的结果并没有明白表示它们是不能被快速解答的;但关于其子集NP完整问题，却一定了其无法很快得四处置。其中一个著名的例子就是旅游商问题(Travelling Salesman Problem)，即寻觅从一个城市到另一个城市的最短道路，答案十分容易考证，不外，假如P≠NP，就没有计算机程序能够疾速给出这个答案。迪奥拉里卡的论文草稿曾经得到了复杂性理论家的认可，但随后发布的论文终稿还将接受严厉的检查。

二、霍奇(Hodge)猜测

提出人：霍奇猜测曾经是代数几何的一个严重的悬而未决的难题。它是由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇特复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜测。属于世界七大数学难题之一。

值得一提的是，霍奇猜测与费马大定理和黎曼猜测成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构赂何拓扑载体和工具。而黎曼假定、庞加莱猜测、霍奇猜测、贝赫和斯维讷通-戴尔猜测、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题不时被世界称为21世纪七大数学难题。2000年5月，美国的克莱数学促进会为每道题悬赏百万美圆求解。

霍奇猜测是关于非奇特复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜测。它在霍奇的著述的一个结果中呈现，他在1930至1940年间经过包含额外的结构丰厚了德拉姆上同调的表述，这种结构呈现于代数簇的状况(但不只限于这种状况)。

苏格兰数学家威廉·霍奇: 怎样能知道哪些类的同源性在任何给定歧管，相当于一个代数周期? 无疑这是一个巨大的想法，仅仅是他不能证明。 我们有一个小的平滑的"空间"(在每个邻域相似于欧几里德空间，但在更大的范围上，"空间"是不同的)，这是由一群方程描画，使得这个空间具有平均的维度。 然后我们获取基本的"拓扑"信息，并将其合成成更小的几何部分(由数字对标记)。几何部分内的理性东西被称为"Hodge循环"。 每个较小的几何部分是称为代数循环的几何部分的组合。 基本上我们有一个"桩"。我们认真看看它，看看它是由许多"切碎的木材"组成。"切碎的木材"里面有"twigs"(霍奇循环)。霍奇猜测曾经断言，关于成堆的切碎的木材，树枝实践上是被称为原子(代数循环)的几何部分的组合。

难题处置：这个叫霍奇猜测的问题 ，假定用浅显的话说，就是"再好再复杂的一座宫殿，都能够由一堆积木垒成"。假如用文人的言语说就是: 任何一个外形的几何图形，不论它有多复杂(只需你能想得出来)，它都能够用一堆简单的几何图形拼成。而在实践工作中，我们无法在二维平面的纸上绘画出来一种复杂的多维图形，霍奇猜测就是把复杂的拓扑图形分拆成为一个个构件，我们只需依照规则装置就能够了解设计者的思想。霍奇猜测提出不到100年，至今有了第一个例子 。

霍奇(Hodge)猜测， 二十世纪的数学家们发现了研讨复杂对象的外形的强有力的措施。基本想法是问在怎样的水平上，我们能够把给定对象的外形经过把维数不时增加的简单几何营造块粘合在一同来构成。这种技巧是变得如此有用，使得它能够用许多不同的方式来推行;最终招致一些强有力的工具，让数学家在对他们研讨中所遇到的形形色色的对象中止分类时取得庞大的停顿。不幸的是，在这一推行中，程序的几何动身点变得含糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。

霍奇猜测曾经断言，关于所谓射影代数簇这种特别圆满的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实践上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

三、庞加莱猜测

提出人：庞加莱猜测是法国数学家庞加莱提出的猜测，曾经是克雷数学研讨所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明处置了庞加莱猜测。庞加莱猜测是一个拓扑学中带有基本意义的命题，它将有助于人类更好地研讨三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天膂力学家、数学物理学家、科学哲学家。他1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。亨利·庞加莱的成就不在于他处置了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜测，只是其中的一个。

世界上一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare): "有些人似乎生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。"

事实上，1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜测: "任何一个单连通的，封锁的三维流形一定同胚于一个三维的球面。" 假如简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边疆的三维空间;单连通就是这个空间中每条封锁的曲线都能够连续的收缩成一点，或者说在一个封锁的三维空间,假定每条封锁的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜测被推行至三维以上空间，被称为"高维庞加莱猜测"。

假定你以为这个说法太笼统的话，下面无妨做这样一个想象: 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只庞大的足球，里面充溢了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。

我们无妨再假定这个球形的房子墙壁是用钢做的，十分坚固，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随意什么气球都能够。这个气球并不是瘪的，而是曾经吹成某一个外形，什么外形都能够(对外形也有一定请求)。但是这个气球，我们还能够继续吹大它，而且假定气球的皮特别坚固，肯定不会被吹破。还要假定这个气球的皮是无限薄的。

接着，我们继续吹大这个气球，不时吹。吹到最后会怎样样呢?庞加莱先生猜测，吹到最后，一定是气球名义和整个球形房子的墙壁名义紧紧地贴住，中间没有缝隙。

我们还能够换一种措施想想: 假定我们伸缩盘绕一个苹果名义的橡皮带，那么我们能够既不扯断它，也不让它分开名义，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，假如我们想象同样的橡皮带以恰当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有措施把它收缩到一点的。我们说，苹果名义是"单连通的"，而轮胎面不是。

看起来这是不是十分容易想明显? 事实上，数学可不是"随意想想"就能证明一个猜测的，这需求紧密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，并且绞尽脑汁、以至于倾其终身还是无果而终。

难题处置：格里戈里·佩雷尔曼在花了8年时间研讨这个差未几足有一个世纪的数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到arXiv.org这个特地刊登数学和物理预印本论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家，宣称自己证明了几何化猜测。

到2005年10月，数位专家宣布考证了该证明，分歧的同意意见简直曾经达成： "假如有人对我处置这个问题的措施感兴味，都在那儿呢-让他们去看吧。"佩雷尔曼说，"我曾经发表了我一切的算法，我能提供给公众的就是这些了。"

佩雷尔曼的做法让克雷数学研讨所大伤脑筋。由于依照这个研讨所的规矩，宣称破解了猜测的人需在正轨杂志上发表并得到专家的认可后，才干取得100万美圆的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金放到他那很微薄的收入中去。2006年，在佩雷尔曼发布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识:佩雷尔曼处置了这个学科最令人肃然起敬的问题之一。但是猜测的处置却触发了一场风云。

关于佩雷尔曼，很多人知之甚少。他是一位巨大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天赋使他很早就开端专攻高等数学和物理。16岁时，他曾经以优秀的成果在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。另外，他还是一名天才的小提琴家，并且桌球打得也相当出色。

从圣彼得堡大学取得博士学位后，佩雷尔曼不时在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研讨所工作。上个世纪80年代末，他曾经到美国多所大学做博士后研讨。之后又在斯捷克洛夫数学研讨所，继续他的宇宙外形证明工作。

证明庞加莱猜测关键作用让佩雷尔曼很快曝光于世界，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据有人引见说，有一个记者想给他拍照，被他大声遏止; 而关于大名鼎鼎的《自然》《科学》采访，他同样五体投地。

"我以为我所说的任何事情都不可能惹起公众的一丝一毫的兴味。"佩雷尔曼说，"我不愿意说是由于我很看重自己的隐私，或者说我就是想坦白我做的任何事情。这里没有顶级秘密，我只不外以为公众对我没有兴味。"他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴味。

国际数学家联盟主席John Ball曾秘密访问佩雷尔曼，他的独一目的是压服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。无疑这可是全球数学界的最高荣誉，此前，全球共有44位数学家获此殊荣，世界上还没有人拒绝接受这个荣誉。但是，面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是"我拒绝。"他解释说:"假如我的证明是正确的，这种方式的招认是不用要的。"

四、黎曼假定

提出人：黎曼猜测是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点散布的猜测，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力处置的23个数学问题，被以为是20世纪数学的制高点，其中便包含黎曼假定。现今克雷数学研讨所悬赏的世界七大数学难题中也包含黎曼猜测。

与费尔马猜测时相隔三个半世纪以上才被处置，哥德巴赫猜测阅历了两个半世纪以上耸立不倒相比，黎曼猜测只需一个半世纪的纪录还差很远，但它在数学上的重要性要远超越这两个知名度更高的猜测。

1932年，德国数学家C.L.Siegel整理的黎曼遗稿中给出了黎曼猜测的证明。文章的作者依据手稿中的一个结论性公式，直接推导出来ζ(s)函数在矩形区域的零点全部落在临界线上。

2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己曾经证明了黎曼猜测。

黎曼猜测是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在德国的布列斯伦茨小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通讯院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为"论小于给定数值的素数个数"的论文。这篇仅仅有短短八页的论文最终成为黎曼猜测的"降生地"。

事实上，黎曼那篇论文所研讨的是一个数学家们长期以来就十分感兴味的问题：即素数的散布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研讨中有着极大的重要性，由于一切大于1的正整数都能够表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的位置相似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得能够在中学以至小学课上中止讲授，但它们的散布却奇妙得与众不同，世界上的数学家们曾经付出了极大的肉体，迄今为止却依旧未能彻底了解其中。

黎曼论文的一个严重的成果，就是发现了素数散布的奇妙完整蕴藏在一个特殊的函数之中，特别是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数散布的细致规律有着决议性的影响。那个函数往常被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。

黎曼的文章的成果固然严重，但文字却十分精练，以至精练得有些过火，由于它包含了很多"证明从略"的中央。而最要命的是，"证明从略"原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些"证明从略"的中央有些却破费了后世数学家们几十年的努力才最终得以补全，有些以至直到今天依旧是空白。但黎曼的论文在为数不少的"证明从略"之外，却引人注目地包含了一个他明白招认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜测。 黎曼猜测自1859年"降生"以来，已过了一百五十多年，在这期间，它就像一座高大的山峰，吸收了世界无数数学家前去攀爬，但却谁也没能胜利登顶。

难题处置：黎曼猜测由德国数学家黎曼(Bernard)于1859年提出，其中触及了素数的散布，被以为是世界上最艰难的数学题之一。荷兰三位数学家J.van de Lune，H.J.Riele te及D.T.Winter应用电子计算机来检验黎曼的假定，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假定是对的，他们在1981年宣布他们的结果，他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。

1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他应用电脑检验一个与黎曼猜测有关的数学问题，能够证明该问题是正确的，从而反过来能够支持黎曼的猜测很可能是正确的。

1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症逝世前证明了No(T)>0.3474N(T)。1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No(T)>0.35N(T)。1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式:

文章的作者依据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来No(T)=N(T)，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。

C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常呈现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 自己关于这个公式的作用也大惑不解。实践上，只需跳出解析数论来看黎曼手稿，就能分明地看到，黎曼用复剖析的几何思想严厉的证明了现代所说的"黎曼猜测"。这或许是数学史上最大的冤案。

2016年11月17日，尼日利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)胜利处置已存在156年的数学难题——黎曼猜测，取得100万美圆(约合人民币630万元)的奖金。

2000年，美国克莱数学研讨所(Clay Mathematics Institute)将黎曼猜测列为七大千年数学难题之一。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜测，将于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假定（猜测）的预印本

2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已证明了黎曼猜测。应用todd函数反证法，证明了一切零点都在临界线上。他公开了这篇研讨论文，总共5页。在论文中，借助量子力学中的无量纲常数α（fine structure constant），阿蒂亚宣称处置了复数域上的黎曼猜测。

阿蒂亚说他希望了解量子力学中的无量纲常数——精密结构常数。由于精密结构常数大约等于1/137，描写的是电磁相互作用的强度。好比在氢原子中，我们大致能够说电子绕原子核的速度是1/137再乘上光速。阿蒂亚指出，了解精密结构常数只是最初的动机。在这个过程中展开出来的数学措施却能够了解黎曼猜测。

在论文的最后，阿蒂亚说，精密结构常数与黎曼猜测，用他的措施，曾经被处置了。当然他只处置了复数域上的黎曼猜测，有理数域上的黎曼猜测，他还需求研讨。另外，随着黎曼猜测被处置，阿蒂亚以为，bsd猜测也有希望被处置。当然，往常阿蒂亚以为，引力常数G是一个更难了解的常数。在黎曼猜测中，我们看到非平凡零点的实部都等于1/2，这是一个让人很意外的常数。固然我们能够从一个简单的对称关系中看出为什么会呈现1/2。

五、杨-米尔斯存在性和质量缺口

提出人：《杨米尔斯的存在性和质量缺口》是世界七大数学难题之一，问题来源于物理学中的杨·米尔斯理论。该问题的正式表述是:证明对任何紧的、单的规范群，四维欧几里无暇间中的杨米尔斯方程组有一个预言存在质量缺口的解。该问题的处置将阐明物理学家尚未完整了解的自然界的基本方面。

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理提示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言曾经在如下的全世界范围内的实验室中所实行的高能实验中得到证明:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研讨所和筑波。固然如此，他们的既描画重粒子、又在数学上严厉的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的关于"夸克"的不可见性的解释中应用的"质量缺口"假定，历来没有得到一个数学上令人称心的证明。在这一问题上的停顿需求在物理上和数学上两方面引进基本上的新观念。

难题处置：2013年4月17日，韩国建国大学宣布，该校赵庸民教授数学(物理学)研讨组破解出了世界七大数学难题中的"杨-米尔斯存在性和质量缺口假定(Yang-Mills and Mass Gap)"(杨-米尔斯理论)一题。赵庸民教授是粒子物理学理论、宇宙论以及统一场范畴的理论物理学家。

韩国数学家破解出的世界“七大数学难题(Millennium Problem)”中的一题。该问题悬赏金额为100万美圆。赵庸民教授是粒子物理学理论、宇宙论以及统一场范畴的理论物理学家。据悉，赵教授的算法固然已刊登在国际权威物理学期刊上，却还没有得到克雷数学研讨所的认证。当时克雷数学研讨所要经过最长两年的时间来证明这个解题过程能否正确。

六、纳维叶-斯托克斯方程的存在性与润滑性

提出人：纳维-斯托克斯方程(英文名:Navier-Stokes equations)，描画粘性不可紧缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只思索了不可紧缩流体的活动。Poisson在1831年提出可紧缩流体的运动方程。

纳维斯托克斯方程，事实上是牛顿第二定律在不可紧缩粘性活动中的表白式，此方程是法国科学家C.L.M.H.纳维于1821年和英国物里学家G.G.斯托克斯于1845年分别树立的，故名纳维斯托克斯方程。

纳维斯托克斯方程能够运用在解释粘性不可紧缩流体活动的普遍规律，因而在流膂力学中具有特殊意义，被誉为世界七大数学难题之一，深受物理学家和数学学家的追捧和沉浸。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的方式，往常都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。在直角坐标系中，其矢量方式为= -p+ρF+μΔv。

后人在此基础上又导出适用于可紧缩流体的N-S方程。以应力表示的运动方程，需弥补方程才干求解。N-S方程反映了粘性流体(又称真实流体)活动的基本力学规律，在流膂力学中有十分重要的意义。它是一个非线性偏微分方程，求解十分艰难和复杂，在求解思绪或技术没有进一步展开和突破前只需在某些十分简单的惯例活动问题上才干求得其精确解;但在部分状况下，能够简化方程而得到近似解。在计算机问世和疾速展开以来，N-S方程的数值求解才有了较大的展开。

在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假定。第一个是流体是连续的。这强调它不包含构成内部的空隙，例如，溶解的气体气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假定是一切触及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度ρ，温度Q，等等。该方程从质量，动量守恒，和能量守恒的基本原理导出。对此，有时必须思索一个有限的恣意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为ω，而其名义记为ω。该控制体积能够在空间中固定，也可能随着流体运动。

七、贝赫和斯维讷通-戴尔猜测

提出人：贝赫和斯维讷通-戴尔猜测称为“千僖难题”之七，指的是对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的一切整数解的描写问题入迷。欧几里德曾经对这一方程给出完整的解答，但是关于更为复杂的方程，这就变得极为艰难。正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在普通的方程来肯定这样的措施能否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜测以为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1左近的性态。特别是，这个有趣的猜测以为，假如z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，假如z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

值得一提的是，数学是研讨数量、结构、变更以及空间模型等概念的一门学科。作为人类思想的表白方式，数学反映了人们探寻谬误的意志、缜密周详的逻辑以及对圆满境地的追求。因而，数学成了一切自然科学的基础。

在国际象棋的博弈中，被以为能力最大的棋子就是皇后，以至国王也远逊于皇后的特权。因而，著名的德国数学家高斯（Gauss）盛赞“数学是科学的皇后”。在数学研讨的一切范畴中，数论则被以为是皇后的皇冠。

在数论的王国里，有无数的珍宝曾经找到其心仪的主人。好比陈景润由于证明“1+2”，成为哥德巴赫猜测的明星。再好比英国数学家怀尔斯（Wiles）在1994年彻底处置了搅扰世人358年的费马（Fermat）猜测。而张益唐则在破译数学史上最古老的“孪生素数猜测”中迈出了至关重要的一步。这些理论的庞大成就，曾经极大地拓展了数学家的视野，为攀爬人类聪慧的巅峰做出庞大贡献。固然如此，依然有大量绚丽的珍宝还在等候着后人去挖掘。现往常，在数论范畴叱咤风云的黎曼猜测和伯奇和斯温纳顿- 戴尔猜测则持续着数论的辉煌和应战。特别是伯奇和斯温纳顿- 戴尔猜测，它和费马大定理一样，寄予着人类对自然数无量无尽的猎奇心和追求。

八、费尔马大定理

提出人：费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。被提出后，阅历多人猜测辩证，历经300多年，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

费尔马曾经在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分红两个立方数之和，或一个四次幂分红两个四次幂之和，或者普通地将一个高于二次的幂分红两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美好的证法 ，可惜这里空白的中央太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）究竟费马没有写下证明，而他的其它猜测对数学贡献良多，由此激起了许多数学家对这一猜测的兴味。数学家们的有关工作丰厚了数论的内容，推进了数论的展开。

对很多不同的n，费马定理早被证明了。其中欧拉用作假法证明了n=3的情形，用的是独一因子合成定理；为什么说他作假呢，由于无理数公式中不可能有1的公因数存在，你用大于1的素数定理来证明费马大定理是没有意义的，费马自己证明了n=4的情形；1825年，狄利克雷和勒让德用作假法证明了n=5的情形，用的是欧拉所用措施的延伸，但避开了独一因子合成定理；

1839年，法国数学家拉梅用作假法证明了n=7的情形，他的证明运用了跟7自身分离的很紧密的巧妙工具，只是难以推行到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有胜利。关于一切小于100的素指数n，库默尔在1844年提出了“作假理想数”概念，他用作假证明法证明了：关于一切小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研讨告一阶段。

但对普通状况，在猜测提出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。直到350多年后的1980年，中国数学家毛桂成给出了费尔马的绝妙证明措施后，费马大定理才算完整证明。

难题处置：1993年6月，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣称作假证明：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山—志村猜测”成立。由于他在讲演中表明了弗雷猜测的无理数等式方程曲线恰恰属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终作假证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞。怀尔斯不得不努力修复着一个看似简单的漏洞。

弗雷猜测的方程是一个无理数等式方程，这个无理数等式方程的曲线不可能是整数不等式费马大定理公式的曲线。这是一个不可修复的漏洞。

怀尔斯和他以前的博士研讨生理查德·泰勒用了近一年的时间，用之前一个怀尔斯曾经丢弃过的措施作假修补了这个漏洞，这部份的证明与岩泽理论有关。这就证明了谷山-志村猜测，从而最终作假证明了费马大定理。他们的证明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。怀尔斯因而作假取得1998年国际数学家大会的特别荣誉，一个特殊制造的菲尔兹奖银质奖章。

谷山--志村猜测的有理数公式的椭圆曲线不可能是整数不等式公式的数模曲线。这里的数不恒等。由于用不等式是不可能作出数模的。数学规则规则：数模只能用等式作出，用不等式公式猜测而得到的数模是不可信的。

九、四色问题

提出人：四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。

四色问题又称四色猜测，是世界近代三大数学难题之一。一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与措施刺激了拓扑学与图论的生长、展开。1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣布借助电子计算机取得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开辟了前景。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边疆的国度着上不同的颜色。”用数学言语表示即“将平面恣意地细分为不相堆叠的区域每一个区域总能够用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边疆是公共的。假如两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。由于用相同的颜色给它们着色不会惹起混杂。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边疆的国度着上不同的颜色。”也就是说在不惹起混杂的状况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

四色定理假如在平面或者球面上不能成立，必定能够结构五个区域或者五个以上区域两两相连。也就是说，假如一个平面需求5种颜色染色才能够用，就是等价于能够结构有五个区域两两相连。所以四色不够用。 假如四色定理不能成立，必定存在一种措施结构五个两两相连区域。

难题处置：1972年起黑肯与阿佩尔开端对希奇的措施作重要改进。到1976年他们以为问题曾经紧缩到能够用计算机证明的地步了。于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种状况检查历时1200个小时，作了100亿个判别最终证明了四色定理。在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人音讯的别致的措施。

人类破天荒运用计算机证明著名数学猜测惹起庞大惊动。但是最终赞扬者有之，狐疑者也不少，由于真正确性一时不能肯定。后来也的确有人指出其错误。好比1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修正。而1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。无论如何四色问题的计算机处置给数学研讨带来了许多重要的新思想。

高速数字计算机的发明促使更多数学家对“四色问题”的研讨。从1936年就开端研讨四色猜测的海克公开宣称四色猜测可用寻觅可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不只能用这程序产生的数据来证明构形可约而且描画可约构形的措施是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。

他把每个国度的首都标出来，然后，再把相邻国度的首都用一条越过边疆的铁路衔接起来。除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外擦掉其他一切的线剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个相似于在电网络中移动电荷的措施来求构形的不可避免组。在海克的研讨中第一次以颇不成熟的方式呈现的“放电法”。这对以后关于不可避免组的研讨是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

电子计算机问世以后由于演算速度大幅进步，再加之人机对话的呈现大大加快了对四色猜测证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”后与阿佩尔协作编制一个很好的程序。就在1976年6月他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上用了1200个小时作了100亿判别终于完成了四色定理的证明，惊动了全界。

“四色问题”的被证明仅处置了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思想的起点。在“四色问题”的研讨过程中不少新的数学理论随之产生也展开了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题丰厚了图论的内容。不只如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表设计计算机的编码程序上都起到了推进作用。世界上不外不少数学家并不满足于计算机取得的成就。他们以为应该有一种简捷明快的书面证明措施。直到往常仍有不少数学家和数学喜好者在寻觅更简约的证明措施。

十、哥德巴赫猜测

提出人：哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜测:恣意大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明，1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严厉的证明。同时欧拉又提出了另一个命题:任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。

因现今数学界曾经不运用"1也是素数"这个商定，原初猜测的现代陈说为:恣意大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即恣意大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜测陈说为欧拉的版本。把命题"任一充沛大的偶数都能够表示成为一个素因子个数不超越a个的数与另一个素因子不超越b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"恣意充沛大的偶数都能够表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

从关于偶数的哥德巴赫猜测，可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜测。后者称为"弱哥德巴赫猜测"或"关于奇数的哥德巴赫猜测"。若关于偶数的哥德巴赫猜测是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜测也会是对的。弱哥德巴赫猜测尚未完整处置，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫曾经证明充沛大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为"哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理"或"三素数定理"。

研讨偶数的哥德巴赫猜测的四个途径。这四个途径分别是:殆素数，例外汇合，小变量的三素数定理以及简直哥德巴赫问题。

折叠殆素数就是素因子个数未几的正整数。现设N是偶数，固然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超越10。用"a+b"来表示如下命题:每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超越a和b。显然，哥德巴赫猜测就能够写成"1+1"。在这一方向上的停顿都是用所谓的筛法得到的。

难题处置：难题的演进重要过程如下：

"a + b"问题的推进

1920年，挪威的布朗证明了"9 + 9"。

1924年，德国的拉特马赫证明了"7 + 7"。

1932年，英国的埃斯特曼证明了"6 + 6"。

1937年，意大利的蕾西先后证明了"5 + 7", "4 + 9", "3 + 15"和"2 + 366"。

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了"5 + 5"。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了"4 + 4"。

1956年，中国的王元证明了"3 + 4"。稍后证明了 "3 + 3"和"2 + 3"。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了"1+ c"，其中c是一很大的自然数。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了"1 + 5"， 中国的王元证明了"1 + 4"。

1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了"1 + 3 "。

1966年，中国的陈景润证明了 "1 + 2 "。

值得一提的是，华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜测的数学家。1936~1938年，他赴英留学，师从哈代研讨数论，并开端研讨哥德巴赫猜测，考证了关于简直一切的偶数猜测。

1950年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研讨所组织数论研讨讨论班，选择哥德巴赫猜测作为讨论的主题。参与讨论班的学生，好比王元、潘承洞和陈景润等在哥德巴赫猜测的证明上取得了相当好的成果。

1956年，王元证明了"3+4";同年，原苏联数学家阿·维诺格拉朵夫证明了"3+3";1957年，王元又证明了"2+3";潘承洞于1962年证明了"1+5";1963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了"1+4";1966年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了"1+2"。

哥德巴赫猜测证明的艰难在于，任何能找到的素数，在以下式中都是不成立的。2*3*5*7*。。。。。。*PN*P=PN+(2*3*5*7*。。。。。。*P-1)*PN前面的偶数减去任何一个素数PN的差必是合数。